数据结构与算法 --- 复杂度分析专题（一）

opendotnet 06-02 154

前言：

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意义

算法复杂度分析的意义在于评估算法的执行效率，找出最优解决方案，是优化算法和改进程序性能的基础。通过对算法的时间复杂度和空间复杂度进行分析，可以帮助我们预估该算法运行所需的资源，从而提高程序的性能。

大O复杂度表示法例1

有如下代码

public int Calculate(int n)
{
int sum = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
 {
 sum += i;
 }
return sum;
}

上述代码段中，假设每条语句执行的时间一样，为1个单位，记为。那么在上述代码片段中：

第3、8行执行分别需要1

第4、5、6、7行代码循环执行了次，那么就需要个

总的执行时间为个。

我们借助在线函数绘图工具画出该函数的曲线如下：

我们可以看出一个规律：执行时间一定为正数，所以代码执行的总时间(()X)是和语句的执行次数()成正比的。

例2

public int Calculate(int n)
{
int sum = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
 {
for (int j = 0; j < n; j++)
 {
 sum += i;
 }
 }
return sum;
}

同上，假设每条语句执行的时间一样，为1个单位，记为。那么在上述代码片段中：

第3、11行分别需要

第4、5、10行分别循环执行了次，即执行需个

第6，7，8，9分别执行了次，即执行需个

总的执行时间为个

画出该函数的曲线如下：

由上边两段推导代码执行时间的过程，可以得到一个重要规律：一段代码的执行时间与每一条语句的总执行次数（累加数）成正比，可以把这个规律总结为一个公式，如下：

其中，表示代码执行的总时间，表示数据规模，表示每条语句执行次数的累加和，这个值与有关，因此用这样一个表达式来表示，公式中的符号，表示代码的执行时间与成正比。

实际上，「大时间复杂度并不具体表示代码真正执行的时间，而是表示代码执行时间随着数据规模增大的变化趋势，因此，也称为渐近时间复杂度（asymptomatic time complexity）,简称时间复杂度。」

当很大时，100000，1000000级别时，公式中的低阶，常量，系数3部分并不左右增长趋势，例如下面的曲线：

曲线：

曲线，该曲线即使只到十位数的数量级，曲线就已经趋向于笔直的竖线：

所以低阶，常量，系数3部分可以忽略。我们只需要记录一个最大量级。如果用大表示法表示上面的两个复杂的则是这样：

时间复杂度的分析方法

大O复杂度表示方法只表示一种变化趋势，我们通常会忽略公式中的常量，低阶和系数，只记录最大量级，因此，我们在分析一段代码时间复杂度的时候，我们也只需要关注「循环执行次数最多的那段代码」。

加法法则

「加法法则：代码的总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度。」

有如下代码片段，分析一下它的时间复杂度：

public int Calculate(int n)
{
//第一段 
int sum1 = 0;
for (int i = 0; i < 100; i++)
 {
 sum1 += i;
 }
//第二段 
int sum2 = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
 {
 sum2 += i;
 }
//第三段
int sum3 = 0;
for (int i = 0; i < n; i++)
 {
for (int j = 0; j < n; j++)
 {
 sum3 += i;
 }
 }
//第四段
return sum1+ sum2+ sum3;
}

分析结果：

第一段，执行时间固定为常数，复杂度记为。

第二段，复杂度为。

第三段，复杂度为。

第四段，只执行一次，复杂度记为。

「为什么第一段复杂度为常数？」

注意大O复杂度的概念，时间复杂度表示的是代码执行时间随数据规模（）的增长趋势，第一段代码中，无论如何变化，它始终执行100次。在曲线图上画出来就是一条平行于X轴的直线，并不会体现出增长趋势。

加法法则定义代码的总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度，用公式表达则是

如果有

那么

总

所以结论就是Calculate方法的时间复杂度为。

乘法法则

「乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积」。

有如下代码片段，计算CalculateA方法的时间复杂度：

public int CalculateA(int n)
{
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
 {
 sum += CalculateB(n);
 }
return sum;
}
public int CalculateB(int n)
{
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
 {
 sum += i;
 }
return sum;
}

分析结果：

CalculateA方法的时间复杂度为。

CalculateB方法的时间复杂度为。

乘法法则定义嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积，用公式表达则是

如果有

那么

总

所以结论就是CalculateA的时间复杂度为=

常见的时间复杂度量级常量级

只要代码的执行时间不随数据规模变化，代码就是常量级时间复杂度，统一记作。

需要注意的是：是常量级时间复杂度的一种表示方法，并不意味着只执行了一行代码。

对数阶

对数阶时间复杂度非常常见，但它是最难分析的时间复杂度之一。

有如下代码段：

public int Calculate(int n)
{
int i = 1;
while (i <= n)
 {
 i *= 2;
 }
return i;
}

如果想要分析该方法的时间复杂度，那就需要看执行次数最多的语句，一共执行多少次？

由上述代码中可以看出，变量i从1开始取值，每循环一次就乘以2，当i值大于n时，循环结束。写成公式则是这样：

我们简化一下就是这样：

所以得出解为：x的值为以2为底，n的对数

所以上文Calculate方法的时间复杂度为

那如果我们把上述代码段中的i *= 2 修改为i *= 3，得到的时间复杂度就变成了

那为什么标题中的表示的时间复杂不体现对数的底数呢？

因为根据对数的换底公式，

因此

其中是一个常量，采用大O复杂度表示法的时候，忽略系数，即

因此，

所以对于对数阶时间复杂度，忽略对数的底数，统一表示为。

多数据规模

这是一种特殊情况，时间复杂度由多个数据规模来决定。

有如下代码：

public int CalculateA(int m, int n)
{
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++)
 {
 sum += i;
 }
for (int i = 1; i <= n; i++)
 {
 sum += i;
 }
return sum;
}
public int CalculateB(int m, int n)
{
int sum = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++)
 {
for (int j = 1; j <= n; j++)
 {
 sum += i;
 }
 }
return sum;
}