文I 章仕齐

编辑I 章仕齐

问题描述与建模

本文以PUMA560机械臂为研究对象，如图1所示，该机械臂具有6个转动关节，前3个转动关节用于控制末端执行器的位置，后3个关节用于控制末端执行器的姿态，本文针对末端执行器的位置进行研究和优化，因此只与前3个关节角相关。

根据任务需求，设置PUMA560机械臂末端执行器必须经过的3点在笛卡尔空间分布如图2所示，图中点与点之间的轨迹为机械臂的现行运行轨迹，现行轨迹点与点间运行时间均为2s，本文研究内容为：在保证末端执行器经过必经点前提下，对机械臂运行轨迹进行优化。

使用逆运动学求解方法，基于PUMA560的D-H模型参数，得到3个笛卡尔空间点对应的关节空间点如表1所示。

本文所研究问题描述为：对于给定的3个位置点，点与点之间使用5次多项式作为轨迹基元，第一点为初始位置，初始位置对应的时刻为初始时刻，记为t0，通过对机械臂末端到达第二点和第三点的时刻t1、t2进行优化，达到减小运行时间、节省能量消耗等目的，第三点为末端位置，末端位置对应的时刻为终止时刻，记为tf，本文中tf=t2

本文使用5次多项式作为点与点间的插值轨迹，也即轨迹基元，即关节n的关节角0n随时间t的变化函数为：

式中：a0~a5-第0次项系数到第5次项系数。

将该段轨迹初始时刻和终止时刻的位置、速度、加速度等作为约束条件，可以对式(1)进行求解，也即可以确定点与点之间的轨迹，初始时刻和终止时刻关节角分别记为0和0，初始速度记为v，终止速度记为v，初始加速度记为a，终止加速度记为ac，则得到轨迹基元待定参数为:

将式（2）得到的系数代入到式（1）中，即可得到点与点之间的运行轨迹。

本文对机械臂轨迹规划设定3个优化目标，分别为运行时间最短、能量消耗最低、脉动冲击最小。

运行时间最短，根据2.1节的问题描述，机械臂运行时间为：

式中：T-机械臂的运行时间，1y-时间优化目标函数。

能量消耗最低，机械臂驱动电机的能耗模型为：

式中:y-能耗优化目标函数，n-关节角编号，a(1)-关节角n随时间变化的加速度函数。

脉动冲击最小，机械臂在运行过程中的脉动冲击计算方法为：

式中:y3-脉动冲击优化目标函数，Jn（t）-关节角n随时间变化的加加速度函数。

机械臂轨迹在优化过程中，应在关节运动能力的约束范围内，关节的运动能力约束包括转动角范围、角速度约束、角加速度约束、角加加速度约束，则多目标优化模型为：

式中:0-n_max关节n的角度极值，vn_max-关节n的速度极值，a-n_max关节角n的加速度极值，Jn_max-关节角n的加加速度极值PUMA560机械臂的运动能力约束如表2所示。

多目标优化模型求解

对于多目标优化问题，一般具有2种处理方法，一类是使用加权系数法，将多个优化目标转化为一个目标；二是使用非支配排序法，得到多个优化目标的Pareto解集，第1种方法可以视为第2种情况下的一个特殊解，因此本文在非支配排序的基础上，提出了基于非支配排序粒子群算法的多目标优化方法。

多目标优化的选择过程是基于非支配排序和拥挤度实现的，非支配排序是针对多目标优化问题提出的排序方法，与传统排序方法相比，它使用多个评价指标，个体具有某一指标的绝对优势就说明此个体可取。

具体的讲，对于L个最小化优化问题，若对于任意一个目标1E{1,2,…L}都有f(xA)≤f(xB)，则称个体A支配个体B。

在种群中若某一个体不被其余任意个体支配，则此个体称为非支配个体，非支配排序过程为：首先选择种群中的非支配个体作为第1层，去除第1层个体后，其余个体中的非支配个体作为第2层，不断重复以上过程，直至排序完毕。

拥挤度因子是针对各层个体的聚集程度定义的，每一层两端的个体拥挤度定义为无穷大，其余个体的拥挤度大小为：

式中:d--个体m的拥挤度因子，flm+1、flm-1个体m的相邻个体。

则多目标优化的选择方法为：将更新前后的个体进行混合并分层，首先保留非支配层较小的个体，当选择到某一支配层个体种群规模超出时，使用拥挤度因子进行选择，保留最后一层拥挤度因子较大的个体，直至种群规模维持不变。

传统粒子群算法中，粒子依据种群信息、个体经验和自身惯性进行运动，给出粒子更新方法并进行缺陷分析，为：

式中:vfdk+1、xfdk+1+粒子i在纬度d迭代t次时速度和位置，w-运动惯性，c1-个体学习因子，c2-种群学习因子，r1、m2-随机数，pidk个体i迭代k次在维度d上的取值，pgdk-迭代k次种群最优粒子在维度d上的取值。

分析式(8)可知，随着迭代的进行，所有粒子在引导作用下向种群最优聚集，当某一粒子与种群最优相似度较大，此时有xidk≈pidk≈pgdk，则pidk-xidk≈0、pgdk-xidk≈0，由此可以看出，当某一粒子与种群最优接近时，粒子只在自身惯性作用下更新，自身经验和种群信息将失去牵引作用，粒子群算法几乎丧失了更新能力。

为了解决这一问题，一般使用随机产生粒子的方式，但是随机产生粒子后，新生粒子适应度难以超过种群最优，在式(8)作用下又会再次陷入上述问题，因此，本文提出向种群最优的邻域学习，而不是单纯的向种群最优学习，具体方法为;向种群最优施加高斯扰动，得到其邻域，使用种群最优的邻域对其余粒子进行引导，即:

式中：pgdk'-种群最优高斯扰动后的粒子；N(pgdk,a)-以pgdk为均值、以为标准差的正态分布，高斯扰动的幅度依据算法需要进行设置，算法前期种群最优的学习价值较小，且粒子需要大范围搜索，因此使用较大的标准差；算法后期种群最优的学习价值较大，且算法具有收敛的需求，因此使用较小的标准差，基于以上分析，本文将标准差设置为递减函数，为：

式中：a0-初始标准差，为常值；Kmax-最大迭代次数。

传统粒子群算法与高斯粒子群算法的粒子速度均由3部分组成，分别为自身惯性、自身经验和种群信息，以上3种影响因素分别用矢量u1、u2和u3来代替，则传统粒子群算法和高斯粒子群算法的粒子更新和多样性对比如图3所示。

粒子群算法向固定的种群最优学习，而高斯粒子群算法是向种群最优的邻域学习，高斯粒子群算法的学习范围更广，既保留了高效的精英学习方式，同时增加了粒子多样性，由此可以看出，高斯粒子群算法优化深度和优化能力好于传统的粒子群算法。

根据优化目标和优化参数，将粒子位置设置为2维，即x=(t1.t2)，基于非支配排序高斯粒子群算法的多目标优化流程为:

初始化算法参数，包括粒子规模、最大迭代次数Kmax、自身学习因子1c、种群学习因子2c、运动惯性w、初始标准差a0；初始化粒子位置；粒子按照式（9）和式（10）定义的方式进行位置更新；

将位置更新前后的粒子进行混合，并依据各目标函数值进行非支配排序并选择；k=k+1，判断k=Kmax？若否则返回Step3；若否则算法结束，输出Pareto前沿解。

仿真验证与分析

在3.3节从原理上对比了高斯粒子群与传统粒子群算法的优劣，也即从原理上保证了高斯粒子群算法的优越性，因此不再对2种算法的优化性能进行验证，而直接使用高斯粒子群算法进行求解，设置机械臂的边界条件为：速度v0=vf=0，加速度α0=αf=0。

算法参数设置为：粒子规模为100、最大迭代次数Kmax=200、自身学习因子c1=1.50、种群学习因子c2=1.50、运动惯性w=0.6、初始标准差a0=0.1range，range表示优化维度的取值范围，使用非支配排序高斯粒子群算法得到的Pareto前沿解如图4所示。

对图4给出的优化结果作以下说明：图中给出的优化结果只是各关节针对自身目标、必经点和约束得到的优化结果，机械臂联动时，点与点间运行时间按照各关节运行时间最大值进行确定。

Pareto前沿解集给出了不同方案下的优化结果，设计者可以按照优化需求选择优化方案，由图3优化结果可以看出，3个优化目标中，脉动量与能耗成正相关关系，但是脉动量和能耗与实践成负相关，具有一定的制约关系。

按照3个优化目标同等重要选择一组优化结果，即对3个优化目标权值均设置为1/3，得到此时的3个关节优化结果分别为[1.5017，1.9315]，[1.7016，1.9914]，[1.6016，1.9832]，各关节点之间按照运行时间最大值进行确定，得到整个机械臂的运行结果为[1.7016,1.9914]。

前文中提到，图2所示轨迹为现行轨迹，将优化后轨迹与现行轨迹进行对比，结果如图5~7所示。

由图5~图7可以直观看出，经过优化机械臂的运行时间明显减少，关节角速度幅值比优化前略大，但是由于优化后的运行时间短，因此能耗仍需进一步计算才能比较，无法直观看出，统计优化前后的运行时间、能耗和冲击量，如表3所示。

由表3中数据可知，经过优化，机械臂轨迹的运行时间、能耗及脉动冲击均有所下降，其中运行时间由4s减为3.6930s，减少了7.68%，总能耗由141.1721减少为85.7751，减少了39.24%，脉动冲击由200.0528减少为114.7420，减少了42.64%，由以上数据可以看出，经过优化，机械臂轨迹的运行时间、能耗和冲击均有较大的减少，说明了本文优化方法的有效性。