#头条创作挑战赛#

群论，是因为5次方程的求根而提出的。

在拉格朗日等人没有找到5次方程的求根公式的背景下，伽罗瓦为了证明5次方程没有根式解，而提出了群论。

但是5次方程的根式解问题比较复杂，而2次方程又太过简单，咱从3次方程开始说起。

抽象代数的入门实际上一点都不抽象，只要抓住一点就行了：广义乘法符不符合交换律。

1，广义的乘法，

从哲学上说，数学的名词、以及它们的后续延伸，都是因为找到了一个共同点。

例如，角的概念最早是从三角形的内角开始的。

角的概念的延伸

三角形的内角只能是锐角（< 90度）、直角（=90度）、钝角（> 90度）。

根据平行公理，同位角相等、内错角相等，那么三角形的内角和就是180度。

也就是3点共线的时候成的角是180。

三点共线，相当于圆的半径从OA经过OB一直转到OE（转了半圈），那么转一圈就是360度。

转2圈呢，720度。

反着转2圈呢，-720度。

一点都不转呢，0度。

这样就把角的概念从(0, 180)的开区间，扩大到了整个实数集了。

但是，角度与半径、弧长的关系不是1:1的，它们没法进行简单的运算。

所以，又衍生出了弧度的概念，用圆心角对应的单位元的弧长来表示圆心角的大小。

这样单位圆周的弧度是，与单位圆周的长度是一致的，运算起来简单多了。

角度的延伸，是它跟圆的弧长与半径的关系有相同点。

相同点，是数学名词延伸的基础。

乘法的延伸，共同点是结合律、交换律、逆运算：

只要是有这些特点的运算，不管它具体是什么，都可以叫它“广义的乘法”。

“道可道，非常道。名可名，非常名。”（道德经的第一句）

起同样名字的东西，当然要有相同的特点。

那么，符合结合律、有逆元（倒数）、有单位元（1）、并且定义了广义乘法的封闭集合，就叫群。

为什么没把交换律也添进去？

因为交换律很容易找到反例：矩阵的乘法大多数情况下就不符合交换律。

加法都是符合交换律的，而且也符合结合律、逆元（相反数）、单位元（零元），所以加法构成一种特殊的群：交换群。

（为了纪念数学家阿贝尔，交换群一般叫阿贝尔群）

在对数学名词进行延伸时，既要覆盖尽可能多的场景，又要对反例做特殊的处理。

所以，群的公理化就是，集合G与它的二元运算x，满足以下条件：

1）(axb)xc = ax(bxc)，这是结合律，

2）axe=exa，这是单位元e，

3）axa^(-1) = e = a^(-1)xa，这是逆元素a^(-1)，

4）集合G关于乘法x当然必须是封闭的，即a属于G, b属于G, axb也属于G。

到这里为止，群的概念实际上不抽象的[呲牙]

很多抽象代数的书让人看得头大，是它接下来写了一堆的衍生概念，让人直接就头大了。

偏偏这些概念离方程的求根问题又很远[捂脸]

2，S3对称群，

既然满足那4条的运算都是广义的乘法，那么数字的对应关系是不是“乘法”？

是。

考虑数字1,2,3之间的对应关系，共有6种：

e：1->1, 2->2, 3->3，这是数字的自然顺序，它是单位元，

a：1->1, 2->3, 3->2，它保持1不变，把23对换，

b：1->3, 3->1, 2->2，它保持2不变，把13对换，

c：1->2, 2->1, 3->3，它保持3不变，把12对换，

d：1->2, 2->3, 3->1，它按照123的顺序，逆时针循环，

f：1->3, 3->2, 2->1，它按照132的顺序，顺时针循环，

就这么6种，叫做S3对称群。

可以验证一下：

abc都是固定其中1个、另外2个对换，再对换1次就会回到自然顺序，所以它们的逆元是它们自己：aa = e, bb = e, cc = e.

2,3的对换关系

df是循环，要旋转3次才会回到自然顺序。

123的循环变换

如上图：不管是123循环、还是132循环，都是3次才会回到自然顺序。

另外，123循环2次的结果与132的循环1次的结果是一致的，反过来也一样：

所以，d = (123) 与 f = (132)互为逆元，即df = fd = e。

（关于封闭性，还可以继续验证）

所以，123之间的对应关系是符合群的定义的，叫做S3对称群。

S3的元素一般简写成：S3 = {e, (12), (13), (23), (123), (132)}。

123之间的循环，与1的3次复数根是类似的，所以高次方程的求解一般都会1的n次复数根。

1的3次复数根与123的循环

3，根与系数的对称性，

3次方程的3个根与系数之间的关系，就是韦达定理：

x1 + x2 + x3 = 0,

x1x2 + x2x3 + x1x3 = p,

x1x2x3 = -q，

其中3次方程是消去2次项之后的：x^3 + px + q = 0。

一般3次方程x^3 + ax^2 + bx + c = 0，用x = y - a/3换元就可以消去2次项。

按照伽罗瓦理论，高次方程的求根是通过在有理数Q上一个个地添加无理数，形成的域的扩张链上进行的。

有理数Q也是个域。

先不用管什么是域，总之Q是个域，Q添加之后还是域，再添加虚数i之后还是域。

Q添加了3^0.5和i之后就可以表示出1的3次复数根了，因为不是有理数的只有它们两个：

1的3次复数根对应着S3对称群里的循环部分，{e, (123), (132)}，它叫A3交错群。

它作用到根的下标时，不会改变根的差的连乘积的符号：

d = (x1-x2)(x1-x3)(x2-x3).

如果用(123)去循环变换根的下标，也就是x1变成x2, x2变成x3, x3变成x1之后，d的符号是不变的：

d = (x2 - x3)(x2-x1)(x3-x1)，同时变号的表达式有2个，所以(-1)^2 = 1.

域F包含3次方程的3个根x1, x2, x3，它叫做多项式（方程）的分裂域，也就是包含方程的所有根的域。

根x1, x2, x3 与 u, v 之间是线性的，可以用线性方程组表示，方程组的系数就是1的3次方根组成的矩阵。

这个矩阵只能是：

（矩阵的行列次序改变 等价于 3个根的次序改变。）

因为A3交错群与1的3次方根一一对应，要想A3作用到根的下标时不变符号，x1,x2,x3之间只能用1的3次复数根去组合。

1的3次复数根里的复数只有2个。

x1 + x2 + x3 = 0，这就是方程里被消去的2次项的系数。

这两项就是u, v的表达式，u^3, v^3在x1, x2, x3循环变换时是不变的。

所以，从K到F的扩张是通过添加u, v实现的，它们通过上述的线性方程组变化到3个根：这个方程组叫拉格朗日预解式。

从Q到K的扩张是通过添加实现的，这么扩张之后已经可以组合出1的3次复数根和方程的判别式了，然后组合出 u^3 和 v^3 来。

3次方程的根与系数的变化过程

u^3, v^3 用方程的系数表示如下：

让 x = u + v 代入 x^3 + px + q = 0，就可以得出u^3和v^3的表达式，真按部就班的根据群论的对称多项式理论去计算，特别的复杂。

可以看出，u^3, v^3正好是一个二次方程的2个根。

总之，3次方程的求根，就是找出3个根在A3交错群的作用下不变的2个表达式来。

然后，把这2个表达式用方程的系数表示出来。

根到系数的合成过程如下：

1）x1, x2, x3 到 u, v 的合成，是一个线性方程组，

2）u, v 合成到 u^3, v^3，

3）u^3, v^3 根据2次方程的韦达定理，合成方程的最终系数p, q，

整个过程比2次方程复杂了好多，怪不得卡尔达诺和塔尔塔利亚要争夺3次求根公式的发现权[捂脸]