本次编程作业的实现环境是Python3、Anaconda3(64-bit)、Jupyter Notebook。是在深度之眼“机器学习训练营”作业基础上完成的，个别代码有修改，供交流学习之用。

编程作业 3 - 多类分类¶

对于此练习，我们将使用逻辑回归来识别手写数字（0到9）。 我们将扩展我们在练习2中写的逻辑回归的实现，并将其应用于一对一的分类。 让我们开始加载数据集。 它是在MATLAB的本机格式，所以要加载它在Python，我们需要使用一个SciPy工具。

import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.io import loadmatdata = loadmat('ex3data1.mat')data

Out[84]:

{'__header__': b'MATLAB 5.0 MAT-file, Platform: GLNXA64, Created on: Sun Oct 16 13:09:09 2011', '__version__': '1.0', '__globals__': [], 'X': array([[0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.], [0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.], [0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.], ..., [0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.], [0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.], [0., 0., 0., ..., 0., 0., 0.]]), 'y': array([[10], [10], [10], ..., [ 9], [ 9], [ 9]], dtype=uint8)}

In [85]:

data['X'].shape, type(data['X']), data['y'].shape, type(data['y'])#len(data['X'])

Out[85]:

((5000, 400), numpy.ndarray, (5000, 1), numpy.ndarray)

sigmoid 函数

def sigmoid(z): return 1 / (1 + np.exp(-z))

代价函数

def cost(theta, X, y, learningRate): # INPUT：参数值theta，数据X，标签y，学习率 # OUTPUT：当前参数值下的交叉熵损失 # TODO：根据参数和输入的数据计算交叉熵损失函数  # STEP1：将theta, X, y转换为numpy类型的矩阵 # your code here (appro ~ 3 lines) theta = np.matrix(theta) X = np.matrix(X) y = np.matrix(y)  # STEP2：根据公式计算损失函数（不含正则化） # your code here (appro ~ 2 lines) cross_cost = -1/len(X) * (y.T * np.log(sigmoid(X * theta.T)) + (1 - y.T) * np.log(1-sigmoid(X * theta.T))) #cross_cost = -1/len(X) * np.sum(np.multiply(y, np.log(sigmoid(X * theta.T))) + np.multiply((1 - y), np.log(1 - sigmoid(X * theta.T)))) # STEP3：根据公式计算损失函数中的正则化部分 # your code here (appro ~ 1 lines)，应使theta0为0（theta从1开始计算？） reg = learningRate / (2*len(X)) * (np.power(theta[1:], 2).sum()) #reg = (learningRate / (2 * len(X))) * np.sum(np.power(theta[1:], 2)) # STEP4：把上两步当中的结果加起来得到整体损失函数 # your code here (appro ~ 1 lines) whole_cost = cross_cost + reg return whole_cost

向量化的梯度函数

#X = np.insert(data['X'], 0, values=np.ones(5000), axis=1)#y = data['y']#theta = np.zeros(401)#learningRate =1def gradient(theta, X, y, learningRate): # INPUT：参数值theta，数据X，标签y，学习率 # OUTPUT：当前参数值下的梯度 # TODO：根据参数和输入的数据计算梯度  # STEP1：将theta, X, y转换为numpy类型的矩阵 # your code here (appro ~ 3 lines) theta = np.matrix(theta) X = np.matrix(X) y = np.matrix(y)​ # STEP2：将theta矩阵拉直（转换为一个向量） # your code here (appro ~ 1 lines) #parameters = theta.ravel()  # STEP3：计算预测的误差 # your code here (appro ~ 1 lines)  error = sigmoid(X @ theta.T) - y  # STEP4：根据上面的公式计算梯度 # your code here (appro ~ 1 lines) grad1 = (1/len(X)) * X.T @ error #grad = ((X.T * error) / len(X)).T + ((learningRate / len(X)) * theta)  # STEP5：由于j=0时不需要正则化，所以这里重置一下 # your code here (appro ~ 1 lines) reg = learningRate / len(X) * theta[0,1:].T grad1[1:,0] += reg grad = grad1 #grad[0, 0] = np.sum(np.multiply(error, X[:,0])) / len(X) return np.array(grad).ravel()

构建分类器：有10个可能的类，并且由于逻辑回归只能一次在2个类之间进行分类，我们需要多类分类的策略。 在本练习中，实现一对一全分类方法，其中具有k个不同类的标签就有k个分类器，每个分类器在“类别 i”和“不是 i”之间决定。 我们将把分类器训练包含在一个函数中，该函数计算10个分类器中的每个分类器的最终权重，并将权重返回为k X（n + 1）数组，其中n是参数数量。

from scipy.optimize import minimize​def one_vs_all(X, y, num_labels, learning_rate): rows = X.shape[0] params = X.shape[1]  # k X (n + 1) array for the parameters of each of the k classifiers all_theta = np.zeros((num_labels, params + 1))  # insert a column of ones at the beginning for the intercept term X = np.insert(X, 0, values=np.ones(rows), axis=1)  # labels are 1-indexed instead of 0-indexed for i in range(1, num_labels + 1): theta = np.zeros(params + 1) y_i = np.array([1 if label == i else 0 for label in y]) y_i = np.reshape(y_i, (rows, 1)) #变为rows行1列的形式  # minimize the objective function fmin = minimize(fun=cost, x0=theta, args=(X, y_i, learning_rate), method='TNC', jac=gradient, options={'disp': True}) all_theta[i-1,:] = fmin.x  return all_theta

实现向量化代码的一个更具挑战性的部分是正确地写入所有的矩阵，保证维度正确。

rows = data['X'].shape[0]params = data['X'].shape[1]​all_theta = np.zeros((10, params + 1))​X = np.insert(data['X'], 0, values=np.ones(rows), axis=1)​theta = np.zeros(params + 1)​y_0 = np.array([1 if label == 0 else 0 for label in data['y']])y_0 = np.reshape(y_0, (rows, 1))​X.shape, type(X), y_0.shape, type(y_0), theta.shape, type(theta), all_theta.shape, type(all_theta)

Out[90]:

((5000, 401), numpy.ndarray, (5000, 1), numpy.ndarray, (401,), numpy.ndarray, (10, 401), numpy.ndarray)

In [91]:

np.unique(data['y'])#看下有几类标签

Out[91]:

array([ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10], dtype=uint8)

让我们确保我们的训练函数正确运行，并且得到合理的输出。

data['X'].shape, type(data['X']), data['y'].shape, type(data['y'])

Out[92]:

((5000, 400), numpy.ndarray, (5000, 1), numpy.ndarray)

In [93]:

all_theta = one_vs_all(data['X'], data['y'], 10, 1)print('theta:',all_theta.shape,)

最后一步 - 使用训练完毕的分类器预测每个图像的标签。 对于这一步，我们将计算每个类的类概率，对于每个训练样本（使用当然的向量化代码），并将输出类标签为具有最高概率的类。

def predict_all(X, all_theta): # INPUT：参数值theta，测试数据X # OUTPUT：预测值 # TODO：对测试数据进行预测  # STEP1：获取矩阵的维度信息 rows = X.shape[0] #params = X.shape[1] #num_labels = all_theta.shape[0]  # STEP2：把矩阵X加入一列壹元素 # your code here (appro ~ 1 lines) X = np.insert(X, 0, values=np.ones(rows), axis=1)  # STEP3：把矩阵X和all_theta转换为numpy型矩阵 # your code here (appro ~ 2 lines) #X = np.matrix(X) #all_theta = np.matrix(theta)  # STEP4：计算样本属于每一类的概率 # your code here (appro ~ 1 lines) h = sigmoid(X @ all_theta.T)  # STEP5：找到每个样本中预测概率最大的值 # your code here (appro ~ 1 lines) h_argmax = np.argmax(h, axis=1)  # STEP6：因为我们的数组是零索引的，所以我们需要为真正的标签+1 h_argmax = h_argmax + 1  return h_argmax

现在我们可以使用predict_all函数为每个实例生成类预测，看看我们的分类器是如何工作的。

y_pred = predict_all(data['X'], all_theta)correct = [1 if a == b else 0 for (a, b) in zip(y_pred, data['y'])]accuracy = (sum(map(int, correct)) / float(len(correct)))print ('accuracy = {0}%'.format(accuracy * 100))

输出的准确率应为94.46%。