大家好，欢迎走进周老师数学课堂，每天进步一点点，坚持带来大改变。今天是2019年2月22日，也是新学期开学第一天，我们分享的内容是反比例函数和几何综合题。

真题求解

如图，已知反比例函数y=k/x的图象经过点A，且OA=2，∠AOC=30°，AC丄x轴于点C

⑴ 试确定此反比例函数的表达式；

⑵ 点O是坐标原点，将线段OA绕点O顺时针旋转30°得到线段OB。判断点B是否在此反比例函数的图象上，并说明理由；

⑶ 已知点P(m，√3m+6)也在此反比例函数的图象上，(其中m<0），过点P作x轴的垂线，交x轴于点M。若线段PM上存在一点Q，使得△OQM的面积是1/2；，设Q点的纵坐标为n，求n*2-2√3n+9的值。

考点清单

⑴ 待定系数法求反比例函数解析式

⑵ 直角三角形函数

⑶ 旋转的性质

⑷ 反比例函数图象及性质

解题思路提示

⑴ 由于反比例函数y=k/x的图象经过点A(-√3，1)，运用待定系数法即可求出此反比例函数的解析式；

⑵ 首先由点A的坐标，可求出OA的长度，∠AOC的大小，然后根据旋转的性质得出∠AOB=30°，OB=OA，再求出点B的坐标，进而判断点B是否在此反比例函数的图象上；

⑶ 把点P(m，√3m+6)代入反比例函数的解析式，得到关于m的一元二次方程；根据题意，可得Q点的坐标为(m，n），再由△OQM的面积是1/2，根据三角形的面积公式及m<0，得出mn的值，最后将所求的代数式变形，把mn的值代入，即可求出n*2-2√3n+9的值。

解题步骤

解⑴∵OA=2，∠AOC=30°，AC丄x轴于点C，

∴AC=1/2OA=1，OC=0A·cos30°=√3

∴A(-√3，1)。

由题意得1=K/+√3，解得k=-√3，

∴反比例函数的解析式为y=-√3/x

⑵ 过点A作x轴的垂线交x轴于点C，

在Rt△AOC中，OC=√3，AC=1，

∴OA=√OC*2+AC*2=2，∠AOC=30°

∵将线段OA绕O点顺时针旋转30°得到线段OB，

∴∠AOB=30°，OB=OA=2，

∴∠BOC=60°，

过点B作x轴的垂线交x轴于点D

在Rt△BOD中

BD=OB，sin∠BOD=√3，OD=1/2OB=

∴B点坐标为(-1，√3)，

将x=-1代入y=-√3/x中，得y=√3，

∴点B(-1，√3)在反比例函数的图象上。

⑶ 由y=-√3/ⅹ，得xy=-√3，

∵点P(m，√3m+6)在反比例函数y=-√3/x的图象上，其中m<0，

∴m(√3m+6)=-√3，

∴m*2+2√3m+1=0，

∵PQ丄x轴，

∴Q点的坐标为(m，n)。

∵△OQM的面积是1/2，

∴1/2OM·QM=1/2

∵m<0，

∴mn=-1，

∴m*2n*2+2√3mn*2+n*2=0，

∴n*2-2√3n=-1，

∴n*2-2√3n+9=8。

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