航空轴承可靠性试验样本数及试验时间设计

摘要：为节约试验成本，航空轴承可靠性试验通常采用小样本定时截尾试验的方式，样本数和试验时间是影响试验结果可靠性的关键因素。根据韦布尔分布基本原理，对样本数、试验时间与可靠度指标、给定寿命、置信度、错判概率等因素的相关性进行了推演，提出了一种考虑置信度和错判概率的航空轴承无失效数据定时截尾试验设计方法，并结合实例进行了验证。

关键词：滚动轴承；角接触球轴承；航空轴承；可靠性试验；小样本；定时截尾试验

寿命及可靠性试验是判定轴承可靠性指标的重要手段。经长期研究积累，通用滚动轴承寿命及可靠性的试验方法已趋于成熟，GB/T 24607—2009《滚动轴承 寿命与可靠性试验及评定》对试验类型、载荷、转速、样本数量、试验时间、试验数据分析方法等给出了明确的界定范围。用户可根据自身轴承产品的特点，参照标准选取相应的试验类型，并确定试验样本数量及试验时长。

航空轴承、高铁轴承等高成本、高可靠性轴承的可靠性试验，一般会进行小样本、无失效数据的定时截尾试验， 即将一组轴承样品在相同试验条件下试验至规定时间后停止。在定时截尾试验中，试验样本、分组数及试验时间的选取对轴承可靠性评价的影响十分明显。文献[1]对多层贝叶斯法及E-Bayes法进行对比分析，认为航空轴承应按照试验时间对试验数据进行分组，当分组数在6～9组之间选择时评估效果相对较好，且航空轴承的试验时间越长，分组数可以越少。但在实际工程应用中，往往只有很少量的轴承样品，无法满足6～9组的分组数量要求；同时，试验时间也受到产品研发进度、试验成本等客观因素的限制。如何在受限条件下合理设计试验样本数量和试验时间，保证试验结果的有效性，成为困扰航空轴承可靠性试验设计的关键问题。

大量的试验研究和理论分析表明，韦布尔分布可用于小样本情况下的可靠性评估：文献[2]采用韦布尔分布研究该市高压电缆的寿命分布；文献[3]介绍3种韦布尔分布的小样本分析方法，对比分析了不同韦布尔分布参数、样本量和失效数下的评估结果，对小样本可靠性试验中最小样本数的选择有一定的指导意义；文献[4]采用贝叶斯方法对累计失效概率进行估计，再运用韦布尔分布计算其可靠度；文献[5]研究了韦布尔分布形状参数的变化对产品接收和拒收概率的影响；文献[6]在已知形状参数下限的情况下给出了可靠度和使用寿命的单侧置信下限，能够根据定时无失效数据对产品进行高置信水平的可靠性评定。

轴承的寿命服从韦布尔分布，因此，本文拟利用韦布尔分布原理推演航空轴承小样本、无失效数据的可靠性试验时间、样本数量与可靠度指标、给定寿命、错判概率等给定指标的相互关系，并探索试验时间、样本数量的设计方法。

1 航空轴承寿命分布模型

韦布尔分布具有幂率特性，能够有效反映产品的不同失效模式，被广泛应用于可靠性研究领域。在Lundberg-Palmgren滚动轴承经典疲劳寿命理论[7]以及相关标准中，滚动轴承疲劳寿命符合二参数韦布尔分布，其累积分布函数为

(1)

概率密度函数为

(2)

则可靠度函数为

(3)

轴承的失效率函数为

(4)

式中：m为函数的形状参数，反映不同的失效模式；η为函数的形状参数；t为轴承寿命。

2 韦布尔分布定时截尾试验设计2.1 考虑置信度的定时截尾试验

航空轴承具有可靠性要求高，制造困难，寿命长，试验成本高等特点。为节约试验成本，航空轴承可靠性试验通常采用小样本定时截尾试验的方式。设试验样本数为n，各航空轴承的寿命ti(i=1,2,3,…,n)服从韦布尔分布，在试验时间内所有产品均未失效。令z=tm，则z服从指数分布

F(z)=1-exp(-λz)；z>0，

(5)

对于指数分布，在已知可靠度和寿命置信度γ的情况下，寿命的单侧置信下限为[8]

(6)

在给定寿命 z 和可靠度置信度λ下，可靠度单侧置信下限为

(7)

对于韦布尔分布，当形状参数已知时，由(1)，(5)式可得，在可靠度和寿命置信度已知的情况下，寿命的单侧置信下限为

(8)

则对于给定样本数，满足寿命T、可靠度R的产品定时截尾试验所需要的试验时间t0为

(9)

给定试验时间t0时所需试验样本数n为

(10)

由于受时间、成本等因素的影响，航空轴承试验所得数据为无失效数据，不包含寿命分布信息，形状参数无法直接得到，对于轴承，m的取值范围一般为0.7～2.0，因此取其下限m1为0.7，上限m2为2.0，使m1≤m≤m2。

对(9)式两边取对数得

(11)

求偏导得

(12)

当

时，

即

此时t0是关于m的单调递减函数；因此，当m1≤m≤m2时，t2≤t0≤t1。

2.2 考虑错判概率的定时截尾试验

产品可靠性试验在生产实际中较为复杂，应尽可能多的考虑影响因素，因此引入错判概率的概念。错判概率α也称为生产方风险，指当批质量符合要求却不被接收时生产方承担的风险。

由(3)，(4)式可得

(13)

两边取对数可得

(14)

当F(t)很小时有

(15)

即

(16)

当F(t)较小且近似服从泊松分布时，其接受概率可表示为

(17)

当无失效数据时，c=0，(17)式可表示为

(18)

当考虑错判概率时，对应于可接受的失效率上限λ0(t)，接受概率为

(19)

两边取对数可得

(20)

设轴承寿命目标值为T，可靠性试验时间为t0，有

t0=kT，

(21)

则由(5)，(12)，(13)式可得

(22)

当轴承可靠度、错判概率、寿命目标值已确定时，由(22)式可得寿命试验时间与样本数的关系式，即

(23)

当可靠度接近100%，错判概率取值较小时，计算结果的精确度更高。计算可知，可靠度接近100%，错判概率α=0.1时，计算误差大约为5%。

由(23)式可以看出，试验时间、样本数与寿命目标值、错判概率正相关，与累积失效概率F=1-R的倒数正相关，与以往试验情况相符。另外，在给定指标要求和试验条件的情况下，增加样本数可对应减少试验时长，该趋势性也与实际相符。

轴承寿命目标值、试验时间均已确定时，可由(23)式得到轴承样本数，即

(24)

3 航空轴承工程实例

某航空用角接触球轴承的寿命目标值为1 100 h，可靠度目标值R≥98%，置信度为95%，使用方可提供最大试验样本数n为10。

对于航空轴承，形状参数m一般取1.5～2.0，因此取形状参数的下限为1.5，上限为2.0，分别代入(9)式可得试验时间的下限t02和上限t01，具体结果见表1：形状参数和样本数对试验时间的影响很大，随着样本数的增加，试验时间的上、下限均呈下降趋势，且试验时间的选取区间逐渐缩小。

表1 试验样本数与试验时间区间匹配方案

Tab.1 Matching scheme of sample numbers and duration interval of test h

在错判概率α分别为0.01，0.05，0.10时，由(23)式计算可得不同m值时试验时间与样本数的匹配方案见表2，形状参数m和错判概率α对试验时间的影响均很大。

表2 试验样本数与试验时间匹配方案

Tab.2 Matching scheme of sample numbers and duration of test h

不同形状参数和不同错判概率对试验样本和试验时间的影响如图1所示：随着错判概率和形状参数的增大，试验样本-试验时间曲线的走势不变，但取值呈上升趋势，且变化较大。为准确设计试验时间和试验样本数量，仍需进行大量试验以确定错判概率和形状参数的取值范围。

(a) α=0.05

(b)m =1.75

图1 不同形状参数和不同错判概率对应的试验样本数-试验时间曲线

Fig.1 Sample numbers-duration curves of test corresponding to different shape parameters and different probabilities of misjudgment

4 结束语

基于韦布尔分布理论，对小样本无失效数据下航空轴承可靠性试验的试验时间、样本数与可靠度目标值、置信度、错判概率、寿命指标等因素的相关性进行了推演，得到了一种考虑置信度和错判概率的试验时间和样本数量的计算方法，对试验时间和样本数等试验参数的确定，以及小样本无失效数据下航空轴承可靠性试验的设计提供一定的参考。