引言

几乎每个小学生都听过数学王子高斯年仅10岁就妙算1+2+3+...+100的故事。

具体的方法：利用交换律和结合律，拼凑出1+100=2+99=3+98=...=50+51，共50项，每项的和是101，所以总和等于101x50=5050。

那么，为什么高斯会想到这样巧妙的算法？普通人就想不到呢？

高斯

数形结合

原因在于：人类天生对抽象的数字不敏感。

人类对数的认识，最早来自于对图形的感知。无论是远古的“结绳计数”还是古希腊毕达哥拉斯的“万物皆数”，其本质都是将数和图形联系在一起。这种“数形结合”的思想，深刻地影响并持续推动着数学向前发展：

毕达哥拉斯应用“数形结合”的思想，发现了勾股定理；

毕达哥拉斯

勾股定理

笛卡尔应用“数形结合”的思想，发现了解析几何；

笛卡尔

怀尔斯应用“数形结合”的思想，证明了费马大定理……

怀尔斯

“摆好姿势”

那么回到这道题，如何将数变成图形呢？

我们可以把1看作一个边长为1的乐高正方形，把2看作两个这样的乐高正方形，……依次类推。

接下来，按照下图所示“摆好姿势”：

第一行摆一个乐高正方形，第二行摆两个乐高正方形，……依次类推。

这些乐高正方形最终摆在一起，就组成了一个“乐高梯形”。

1+2+3+...+100的含义就转换成：乐高正方形的总数是多少？（结论1）

根据面积的定义可知：

乐高梯形的面积=乐高正方形的总数（结论2）

即使我们连梯形的面积公式都不知道，也可以用下面的方法求解：

首先，将该乐高梯形倒放过来，如下图所示：

然后，将倒放的乐高梯形和原来的乐高梯形拼起来：

这样就组成了一个长为101、宽为100的乐高长方形。根据长方形的面积公式：

长方形的面积=长x宽

这个乐高长方形的面积等于101x100=10100。它是由两个乐高梯形拼起来的，所以乐高梯形的面积等于它的一半，即：10100/2=5050。

这就是“成功一半”的含义啦！

从而根据前面的结论1和结论2，可以推出：1+2+3+...+100=5050。

是不是很有意思？玩两把乐高就把数学题给解了:）

延伸思考

1+2+3+...+100是一种特殊的等差数列（公差为1）求和，那么对于一般的等差数列，上面这个“摆好姿势，就成功了一半”的武功心法是不是一样适用呢？

答案是肯定的，因为按照上面的方式按行摆好边长为1的乐高正方形之后，把组成的图形倒放之后再和它拼接，仍然可以拼成长方形。

这里再插播一个小思考：

我们知道高斯生活在18世纪，而早在17世纪牛顿就发明了微积分，很难想象如果17世纪还不知道怎么算等差数列求和的话，怎么可能玩得转微积分。

牛顿

所以可以得出一个结论：等差数列求和方法，并不是高斯发明的。

之所以小高斯的故事如此出名，以至于大家都认为高斯发明了等差数列求和，只是因为高斯晚年提起了小时候求解等差数列的得意经历罢了，而且当年他的老师出的等差数列比1+2+3...+100要复杂得多……