圆锥曲线，是由一平面截二次锥面得到的曲线，包括椭圆（圆为椭圆的特例）、抛物线、双曲线。抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．

直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何的重要内容之一，也是高考的热点，反复考查。

今天我们就2019年全国卷1（理科）第19题，一起探究一下直线与抛物线相关的弦长问题中需要同学们重点理解以及记忆的几个内容，包括韦达定理、抛物线定义推论以及弦长公式。

试题再现分析

先设点P(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2)

（1）根据韦达定理以及抛物线定义，可求得直线l的方程。

（2）由向量关系得到t-x1=3(x2-t)，结合韦达定理求得t、x1、x2的值，利用弦长定理可得|AB|的值。

解答

在求解抛物线弦长问题时，先设点坐标，写出直线方程，再将其代入抛物线方程中，根据题目需要消去x或y，得到关于y或x的一元二次方程，这个方程必有两根，这时可以利用韦达定理求出两根的和及乘积，以供后续使用。

韦达定理

（1）

抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。

当抛物线开口向右时，有|AF|+|BF|=x1+x2+p：

|AF|+|BF|=x1+x2+p

同理：

当抛物线开口向左时，有|AF|+|BF|=-x1-x2+p；

当抛物线开口向上时，有|AF|+|BF|=y1+y2+p；

当抛物线开口向右时，有|AF|+|BF|=-y1-y2+p。

(2)

已知直线的斜率，以及弦|AB|两端点的横坐标或纵坐标，求弦长时，最快方式是使用弦长公式。

弦长公式

该公式由两点间距离公式推导而来：

弦长公式不仅可在抛物线弦长问题中使用，任何时候，只要知道线段两端点横坐标/纵坐标以及斜率时均可使用，也算是万能公式了。

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