君子有三乐，父母俱存，兄弟无故，一乐也；仰不愧于天，俯不怍于人，二乐也；得天下英才而教育之，三乐也。

——《孟子》

题目呈现

在头条看到一道填空题，题目呈现如下：

若a²+7a+2是完全平方数，则整数a=________。

本文先谈谈看到这个题目的联想，再给出相关定理的简证，最后收录原作者的解法。

用定理解题

看到这个题目脑海中浮想翩翩，第一个联想就是想到了一个定理。一元二次方程ax²+bx+c=0（其中a≠0，a,b,c均为整数）（*）有两个整数解的充要条件即是：

【定理】方程（*）有两个整数解的充要条件是：

b²-4ac=m²（m是整数），且b，c均能被a整除。

知道这个定理，就可以用它解题。

假设题目的完全平方数是n²，则由题意可得：

a²+7a+2=n²

移项，得

a²+7a+2-n²=0 （1）

由定理可得

7²-4(2-n²)=m²

去括号，

7²-8+4n²=m²

即

41+4n²=m² （2）

现在我们可以求出n和m了，怎么求呢？

我们可以用数形结合思想解决问题。大家思考一下，连续奇数之和是完全平方数，怎样用几何方式呈现？

1+3+5+...+2n+1=m²

看一个简单的例子。

汉字“口”可以看成是一个边长为1的正方形，“田”可以看成是一个边长为2的正方形，九宫格可以看成是一个边长为3的正方形。九宫格完美诠释了等式：

1+3+5=3²

九宫格可以划分为田字形和曲尺形两个部分，田字形可以表示成4n²，曲尺形可以表示成4n+1，九宫格可以表示成(2n+1)²，也就是

4n²+4n+1=(2n+1)²

通过以上分析，我们知道（2）式41+4n²=m²中，

41代表曲尺形，4n²代表田字形，九宫格=m²。

因为有41=4n+1，所以n=10，m=21。

把n=10代入（1）式，

a²+7a+2-n²=0 （1）

a²+7a-98=0 （3）

方程（3）有两个整数解，因为数字简单，容易看出正整数解是a=7，负整数解是多少呢？看不出来就解方程。

我们可以用因式分解法解这个方程。解方程要用到一个公式：

x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

我们对x²+7x-98进行因式分解，就解出方程（3）了。

因为a+b=7，ab=-98，所以a，b可能是以下整数对：（98分解质因数）

-1，98或-2，49或-7，14。

容易看出，-7，14满足条件，所以有

x²+7x-98=(x-7)(x+14)

因为(x-7)(x+14)=0，所以x₁=7，x₂=-14。

所以填空题的答案是a=7或-14。

定理的一个简单证明

下面介绍解题用到的定理的一个简单证明。

一元二次方程ax²+bx+c=0（其中a≠0，a,b,c均为整数）（*）有两个整数解的充要条件即是：

【定理】方程（*）有两个整数解的充要条件是：

b²-4ac=m²（m是整数），且b，c均能被a整除。

证明： 设方程（*）的两根为x₁，x₂，则由韦达定理可得：

图片

（充分性）∵整数b能被整数a整除，

∴由（1）式知x₁+x₂是整数；

∵c能被a整除，

∴m²=b²-4ac能被a²整除，

∴由（2）式知x₁-x₂是整数。

而两个整数x₁+x₂和x₁-x₂同奇或同偶，

∴(x₁+x₂)±(x₁-x₂)=偶数。

即2x₁，2x₂均为偶数。

∴ x₁，x₂均为整数。

（必要性）∵ x₁，x₂均为整数，

∴x₁+x₂，x₁-x₂，x₁x₂均为整数。

∴由（1）式知b，c均能被a整除。

由（2）式知，b²-4ac=[a(x₁-x₂)]²是一个整数的平方。

证明的作者是朱荣兴（上海崇明师范）。

特别收录

原作者的解法：因式分解

由题意可得

a²+7a+2=n² （a和n均为整数）

用配方法得

图片

∵ 4=2²，∴ (2a+7)²-(2n)²=41

∴ (2a+2n+7)(2a-2n+7)=41

∵a，n均为整数，41是质数，

∴2a+2n+7=41......①

2a-2n+7=1 ......②

①+②消去n

4a+14=42

∴ a=7

即使①=1，②=41也不影响我们求出a。

还有一种可能，①式=-41，②式=-1，

两式相加消去n

可得 a=-14

a有两个整数解，均符合题意。

总结：本文提到的定理不仅对学生解题有用，还对老师出题也有用。因式分解是初中同学的基本功，希望同学们都能够熟练掌握。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。