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本文内容来源于《测绘学报》2020年第9期，审图号GS（2020）4848号。

小波变换与滑动窗口相结合的GNSS-IR雪深估测模型

边少锋1,周威1, 刘立龙2,3,李厚朴1,刘备1

1.海军工程大学导航工程系, 湖北 武汉 430079;

2.桂林理工大学测绘地理信息学院, 广西 桂林 541004;

3.广西空间信息与测绘重点实验室, 广西 桂林 541004

基金项目：国家自然科学基金（41631072；41971416）；海军工程大学自主立项项目（2019055）；广西空间信息与测绘重点实验室开放基金（19-050-11-02）；湖北省杰出青年科学基金（2019CFA086）；广西自然科学基金（2018GXNSFAA294045）

摘要：GNSS干涉反射技术（GNSS interferometric reflectometry）是一种新型的地表雪深监测方式。针对当前信号分离不佳和随机估测偏差的问题，提出联合小波变换和滑动窗口构建一种多卫星融合的GNSS-IR雪深估测精化模型。该模型采用离散小波变换代替常用的多项式方法，获取高质量的信噪比序列。通过利用阈值约束下的滑动窗口筛选多卫星有效反射高度，并进行等权平均。以PBO H2O和SNOTEL的雪深数据为参考值，利用2016—2017年雪季的GNSS观测数据建立模型并验证精度。结果表明：①GNSS-IR精化模型估测结果与实测数据在整体趋势上保持高一致性；②与单颗卫星结果相比，多卫星融合估测结果在精度和稳定性方面明显改善，其均方根误差（RMSE）为10 cm，相较于PBO H2O减少了近50%。此外，考虑到地表粗糙度作为一种误差影响因素，采用新的反射高度基准修正的雪深估测相对RMSE误差约4 cm，同时估测值与实际值的相关系数达到0.98。

关键词：全球卫星导航系统干涉反射技术 小波变换 滑动窗口 雪深估测 地表粗糙度

引文格式：边少锋, 周威, 刘立龙, 等. 小波变换与滑动窗口相结合的GNSS-IR雪深估测模型. 测绘学报，2020，49(9)：1179-1188. DOI: 10.11947/j.AGCS.2020.20200268.

阅读全文：

全文概述

高精度的雪深资料不仅是水文、气候和环境研究中评估模型的关键参数，也是区域内地表辐射和能量平衡、融雪径流预报、水资源管理等方面的重要指标[1]。常用的雪深数据集大多依赖于气象台站的观测资料，在时空分辨率方面具有较大的局限性；多光谱传感器难以有效反演积雪垂直空间变化信息，并受云雨天气影响[2]。微波遥感技术融合了上述两种测量方式的优势，更符合实际的应用需求。

对于全球导航卫星系统(GNSS)而言，除了提供位置服务[3-4]之外，GNSS-R(GNSS reflecto-metry)或GNSS-IR(GNSS interferometric reflecto-metry)技术在环境监测方面的扩展应用[5-7]有效弥补了气象站的缺陷，具有全天时、全天候、成本低、高分辨率等优点。文献[8]在1993年提出GPS反射测量海平面高度的可能，由此开启了GNSS观测值监测环境参数的热潮[9-11]。其中，GNSS-R技术需研制特殊的GNSS硬件接收设备，GNSS-IR技术可直接使用大地测量型GNSS接收机，有助于未来大规模推广应用。依托于IGS(International GNSS Service)和PBO(Plate Boundary Observatory)提供的丰富GNSS观测数据，国内外学者基于GNSS-IR理论开展了一系列的探索性研究[12-13]。文献[14]开发了地表特性的微波遥感理论，并验证其作为一种遥感手段探测地表环境参数的有效性。文献[15]采用一种廉价的导航模块输出GPS观测数据，通过分析卫星信号在草地与沥青表层的电导率和相对介电常数，结果表明地表镜面反射作用对GPS卫星L波段信号产生影响。文献[16—17]明确提出了GPS卫星信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)观测值与多路径环境参数之间的映射，利用连续小波变换方法分离出GPS接收机接收的信号分量，初步证实了分离后反射信号的幅度和频率与多路径环境之间存在密切联系，并进一步建立了SNR观测值中非平稳振荡信号的频率和幅度与测站附近地表环境特性的数学关系。在此基础上，文献[18]构建了一种适用于普通接收机的GPS-IR土壤湿度探测模型，并获得了较好的反演结果。与此同时，文献[19]利用构建的GPS-IR土壤湿度探测模型直接验证其监测地表雪深的有效性。随后，针对不同卫星、不同频率的信号性能差异，文献[20—22]探讨了不同信号反演地表雪深差异产生的机理，由此可为多模多频GNSS-IR组合模型提供理论基础。此外，文献[23—24]提出一种三层反射面叠加(干雪层、草层、土壤层)探测模型，通过模拟相干信号解算出仿真值，并与实测值进行最优匹配获取地表积雪参数。但是，该理论模型受限于建模过程不够准确，积雪测量误差超过三分之一。

针对单个GNSS测站而言，卫星反射信号受积雪层、地表粗糙度、降雪和风向等多因素影响，如何建立精准的雪深估测模型是积雪研究的技术难点之一。通过分析GNSS-IR反射机制，高质量反射信号的获取是保证其测量精度的重要前提，常用的多项式拟合方法存在人为经验的限制，信号分离效果一般。同时，由于GNSS信号受不同卫星轨迹和卫星自身性能的影响，直接使用等权均值处理多卫星融合问题可能存在较大的随机偏差。因此，本文采用PBO计划提供的2016—2017年雪季的GPS卫星L1C/A观测数据，构建一种小波变换和滑动窗口相结合的GNSS-IR雪深估测模型，并利用PBO H2O项目组和SNOTEL气象网络提供的雪深数据进行模型精度验证，该研究成果可为区域性的高精度雪深监测研究提供重要参考。

1 数据来源及模型构建

本文选取2016—2017年雪季(2016年10月至2017年5月)作为研究时段，采用多种数据源。

板块边界观测计划PBO是美国“地球透镜计划”的组成部分之一，旨在监视大陆板块边界的变形程度。该计划已建设数百个永久性GPS观测站，可提供15 s时间分辨率的GPS观测数据()。由于GPS测站与气象站需形成“并址”，此处仅采用美国Alaska的AB33观测站(67.251 2°N, 150.172 5°W, 高程:334.8 m)作为研究对象。该测站使用钢制三脚架固定支撑，接收机型号为Trimble NETRS，天线罩为SCIT，天线型号为TRM29659.00，测站高度为1.9 m，可接收GPS卫星L1C/A波段数据，文献[21]已开展过相关积雪试验，具有一定的代表性，如图 1(a)所示。为了保证GPS-IR技术估测雪深的精度，如果测站周边的地形起伏较大，需提前获取地面高程信息。图 1(b)展示了AB33测站的Landsat卫星影像以及第一菲涅尔区域，地形平坦开阔且覆盖稀疏杂草，有利于地表雪深监测。由文献[12]可知，合适的高度角范围为4°~24°，最大理论探测范围是2a(a为椭圆长半轴)半径的扇形区域(一系列椭圆)。同时，美国地质调查局USGS(United States Geological Survey, )提供IFSAR 5 m空间分辨率的数字高程模型DEM，图 1(c)是以AB33测站为中心(高程为零)的80 m边长的正四边形区域。可见，该区域地势为北高南低，相对高程区间分布主要为[-1 m, 1 m]。

图 1 AB33测站周围环境Fig. 1 Surrounding environment of AB33 station

图选项

PBO H2O项目组()和SNOTEL(SNOwpack TELemetry network, )中心(Coldfoot气象站)可提供1 d时间分辨率的雪深数据作为参考值。其中，PBO H2O项目组作为最早研究GNSS-IR技术监测地表积雪参数的团队之一，其利用GNSS-IR经典算法和PBO GNSS观测数据解算了多个测站的地表环境参数(包括土壤湿度、积雪深度等)，并已公开发布相关的数据产品。Coldfoot气象站(67.25°N, 150.18°W, 高程:317.0 m)与AB33测站的直线距离约1 km，通过分析2013—2016年的雪深变化可知，该地区的降雪天气主要集中于前一年11月至后一年4月之间(约240 d)，几乎所有的积雪深度均不超过0.8 m，积雪覆盖测站的概率可忽略不计。

1.1 GNSS-IR经典模型

文献[12]开发了一种基于SNR观测量的GNSS-IR雪深监测的经典算法，几何结构如图 2所示。其中，H和h分别表示无积雪和积雪覆盖下天线距反射层的反射高度，hs表示积雪深度，θ表示卫星高度角。

图 2 陆基GPS-IR几何模型Fig. 2 Geometric model of ground-based GPS-IR

图选项

由于GNSS信号受积雪层的多路径效应影响，接收机天线同时接收直射信号和测站附近不同地物的反射信号时产生一定的相位差，两种信号相互叠加干涉产生复合信号，此复合的SNR观测量可表示为[18]

(1)

式中，Ad和Am分别表示直射信号和反射信号的幅度；ϕ表示两种信号的相位差，单位为rad，其表达式为

(2)

式中，λ表示电磁波波长。式(2)表明相位差ϕ与高度角正弦值sinθ之间存在线性关系，由此可得

(3)

式中，f表示信号频率。由于雪深值仅与多路径反射信号相关，直射信号是一种“噪声信号”。因此，采用多项式拟合复合SNR信号，两者作差可获取去趋势后的SNR残差序列(主要为干涉反射信号)，表示为

(4)

式中，A表示信号幅度；φ表示相位偏移。文献[19]表明，SNR信号的频率是一种可反映雪深变化的度量指标，频率f越大，有效反射高度h越大。随后，利用LSP(Lomb-Scargle periodogram)方法提取单个SNR序列的频率值f，从而解算出对应的垂直反射高度h，并由关系式hs=H-h计算雪深估测值。

1.2 小波变换理论

设原始SNR信号f(t)表示为f(t)=[S1,S2, …,St]，t为历元。通过利用一系列小波函数对原始信号进行逼近，可分离出低频部分和高频部分。根据Mallat算法[25]的多分辨特性，将某一小波基函数作位移b，并在不同尺度a下与待分解信号f(t)作内积，一维离散小波变换表示为

(5)

式中，a和b分别表示尺度因子和位移量；ψa,b(t)表示小波基函数，可根据信号特征和应用效果进行选取。考虑到需对原始信号进行多尺度分析以及信号重构，本文选择紧支撑标准正交小波db4作为基本函数[26]。图 3展示了AB33测站2016年DOY 320 GPS PRN10卫星的SNR信号趋势分离结果。可见，多项式方法难以准确拟合SNR信号趋势，尤其是低卫星高度角时出现了显著偏差；小波变换能较好识别该信号的趋势变化。

图 3 PRN 10号卫星的SNR信号拟合趋势Fig. 3 SNR observations fitting trend term of PRN 10 satellite

图选项

1.3 基于滑动窗口的数据优化策略

由于GPS运行周期约12 h，一天内单颗卫星至多采集4段SNR序列。通过利用小波变换和GNSS-IR经典算法，估测出一天内所有的反射高度h。为方便表述，可将所有反射高度数据进行无差别排序，并重新编号n(n=1, 2, 3, …,N)，数据集T表示为

(6)

GNSS-IR模型估测精度主要依赖于数学统计模型的准确性。理论上，数据集T的反射高度均应接近于实测值，但是实际上仍存在部分较大偏差。当前的大多数模型直接对数据集T进行等权平均，其表达式为

(7)

式中，have表示平均值；N表示估测值的数量。该方法充分利用了所有的估测数据，但是模型本身存在一定的随机误差。图 4表示AB33测站2016年DOY 275和2017年DOY 60估测的多卫星反射高度。可见，大多数估测值h的数据点形成了明显的“聚集效应”，实测值(黑色虚线)接近于中心位置，尤其是雪深较大时更为明显。然而，部分偏差较大的估测值使得平均值(红色实线)偏离了“中心点位”，最终导致雪深估测值存在明显偏差。因此，本文利用阈值约束下的滑动窗口对所有估测数据进行质量优化。

图 4 GNSS-IR估测的反射高度Fig. 4 The reflected height derived from GNSS-IR technology

图选项

假设窗口宽度为l，对均值have向下取一位小数点，并将该数值作为窗口的一个起始边界hbegin=

(8)

结合式(8)分别统计一天内两种不同初始窗口内的估测点位数量(Num1和Num2)，通过对比两个数量值的大小可确定合适的初始窗口区间，具体形式为

(9)

在确定初始窗口的基础上，将大小固定的窗口以0.1 m等间距由起始边界向点位数量较多的方向进行滑动(如:初始窗口为[hbegin,hbegin+l]时，该窗口由数值小向数值大的方向进行滑动)，并统计出每次滑动后窗口内包含的点位数量占全部点位的百分比，从而获得点位数量最多的窗口。为保证该算法的可信度，设百分比大小超过0.6作为阈值。如果所有窗口内的点位数量百分比均小于0.6，则将窗口的两侧边界分别扩大0.02 m，以此类推，直至满足阈值。最后将满足条件的窗口内的所有估测值dk(k=1, 2, …,K)进行等权平均，解算出雪深估测值hs_ave，其表达式为

(10)

1.4 地表粗糙度的修正方法

GNSS-IR经典模型建立的前提条件是假设的水平面，这与实际地形不相符，因此考虑将地表粗糙度作为一种误差影响因素，需对其进行有效修正。由于测站周边地形不够平整，直接采用测站垂直高度作为反射高度基准H会产生系统性的地形偏差。同时，每一恒星日内的GPS卫星轨道是固定不变的，每个运行周期内天线接收反射信号的地面轨迹无明显变化，因此地表有无积雪覆盖的情况下地表粗糙度均应保持一致。文献[27]提出通过改变固定的反射高度基准来修正部分地形偏差。根据这种思路，本文选取了2016年DOY 275—DOY 305(最大雪深值小于3 cm)的GPS观测数据，分别建立基于小波变换的GPS-IR模型以及基于小波变换和滑动窗口的GPS-IR模型，解算出地表无积雪覆盖时的多卫星反射高度并进行等权平均，结果见图 5。可见，上述两种估测模型估测的多卫星反射高度日变化量很少(最大变化量小于5 cm)，与AB33测站的1.9 m垂直高度相比，两者的估测结果分别增加了1 cm和5 cm。结合图 1(c)的DEM图可知，测站周围的大部分监测区域的地表高程相较于接收机天线相位中心对应的地面高程略低，即地面呈凹陷状态，模型的估测值应大于测站高度，两者的结果较符合。因此，式(10)可转化为

图 5 GPS-IR估测地表无雪的反射高度Fig. 5 The reflected height derived from GPS-IR without snow

图选项

(11)

式中，Hnew表示GPS-IR模型估测的反射高度基准均值。

综上所述，小波变换和滑动窗口相结合的GNSS-IR雪深估测精化模型的基本流程如图 6所示。

图 6 GNSS-IR估测地表雪深的基本流程Fig. 6 The basic process of snow depth estimation from GNSS-IR technique

图选项

2 模型精度验证

2.1 基于小波变换分解的GPS-IR雪深估测精度验证

本文采用PBO H2O项目组和SNOTEL中心提供的两种雪深数据产品作为参考值，验证构建后的GPS-IR模型精度。便于后期描述，将PBO H2O数据定义为Snow_H2O。由于Snow_H2O数据主要针对较厚的积雪层(不低于0.2 m)，因此缺省部分数据。SNOTEL气象站提供的雪深资料均为实测值，具有较高的精度和可靠性。图 7表示2017年DOY 21—DOY 127两种雪深数据的变化趋势。

图 7 PBO H2O和SNOTEL提供的雪深数据Fig. 7 Snow depths provided by PBO H2O and SNOTEL

图选项

图 7中，Snow_H2O和SNOTEL两种雪深数据的整体趋势较好，但是从定量上来看，两者存在明显偏差，Snow_H2O雪深数据整体小于实测数据。该现象产生的原因可能是:①地表粗糙度；②Snow_H2O数据的估测模型存在误差(包括系统误差和随机误差)。雪季期间，发生了5次较明显的降雪，分别为2017年DOY 28—DOY 32、DOY 45—DOY 46、DOY 50—DOY 53、DOY 55—DOY 57和DOY 92—DOY 93，单次最大降雪深度超过0.2 m。由于强降雪天气的影响，地表雪深明显上升，尤其是DOY 45—DOY 46、DOY 50—DOY 53、DOY 55—DOY 57。天线与雪层的反射高度在短时间内变化较剧烈，Snow_H2O雪深数据随之出现波动。同时，AB33测站的降雪量和降雪频率较为充足，有利于开展地表雪深监测研究。

为了验证小波变换在雪深估测中的有效性，本文选取2017年DOY 60—DOY 90的GPS观测数据，截止高度角设置为4°~24°，分别利用小波变换和低阶多项式分离出多路径反射信号，并采用LSP解算出反射高度，最后获取雪深估测值。限于篇幅，此处仅给出部分卫星(编号为13和14)的雪深估测结果(图 8)。

图 8 单颗卫星的雪深估测值与实测值的关系Fig. 8 Relationship between snow depth estimations of asingle satellite and in situ measurements

图选项

图 8中，整个时段内的雪深数据较平缓，未出现明显的上升或下降。两种方法估测的各卫星雪深结果与Snow_H2O雪深数据的吻合度较好，可反映地表雪深的整体变化。相较于基于多项式的估测结果，基于小波变换的雪深估测结果更接近于实测值，且与实测值的相关性更强，初步表明基于小波变换的GPS-IR模型估测雪深的有效性。进一步对比发现，不同的GPS卫星监测雪深变化的响应模式存在一定的差异。对于同一颗卫星而言，不同年积日的估测结果出现了大量的异常跳变，主要原因是卫星轨道和卫星性能的差异、其他地物干扰等。由于同一卫星的估测结果波动较大，难以剔除部分较差的结果，从而导致最终估测结果的稳定性不足。已有研究[28]表明:联合多颗卫星估测结果可形成优势互补，有效改善异常跳变的问题，而大多数模型采用的等权均值法难以解决此类问题。结合两种雪深参考值，探讨小波变换分解算法对GPS-IR技术监测长时间雪深序列的可靠性，结果如图 9所示。图 9中，Snow_H2O雪深数据与基于小波变换的GPS-IR雪深估测结果之间存在强相关。但是，与实测雪深值相比，在高雪深时期(DOY 50—DOY 120)，上述两种方法估测的雪深数据均存在较大偏差(最大偏差量分别为0.31 m和0.27 m)，而处于低雪深时期(DOY 30—DOY 50)，后者的测量精度相对于前者有所提高。两种方法的估测雪深与实测雪深的均方根误差分别为0.21 m和0.18 m，结果表明:采用等权均值法的估测性能较差，而基于小波变换的GPS-IR模型的估测精度一定程度上有所提高。

图 9 基于小波变换的GPS-IR的雪深估测值与雪深参考值Fig. 9 Snow depth estimations of GPS-IR based on wavelet transform and snow depth references

图选项

2.2 基于小波变换和滑动窗口的GPS-IR雪深估测精度验证

文献[28]验证了多卫星融合方法有助于提高GPS-IR模型的估测精度。在构建基于小波变换的GPS-IR估测模型的基础上，本文利用阈值约束下的滑动窗口对一天内多卫星的估测结果进行优化处理。设初始窗口宽度为0.4 m，两种设计方案如下:①利用滑动窗口优化单颗卫星估测结果；②利用滑动窗口优化多卫星估测结果，并对最优窗口内的估测数据进行等权平均。方案1和方案2分别选取了AB33测站2017年DOY 60—DOY 90和DOY 21—DOY 127的GPS L1C/A观测数据，两种模型的单卫星和多卫星估测结果如表 1、表 2和图 10所示。

表 1 两种模型的单卫星估测误差Tab. 1 Estimation errors of a single satellite from two GPS-IR models

模型误差PRN07PRN08PRN12RN13PRN19PRN21PRN25PRN27小波变换MAE0.140.180.110.060.080.120.150.19RMSE0.160.200.140.070.100.150.190.22小波变换+滑动窗口MAE0.080.0140.080.050.050.060.090.016RMSE0.090.0150.090.060.060.070.100.017

表选项

表 2 3种雪深估测值与实测雪深的精度Tab. 2 Accuracy between three snow depth estimations and in situ measurements

精度指标Snow_H2O小波变换小波变换+滑动窗口MAE/m0.200.180.09RMSE/m0.210.190.10R0.910.900.95

表选项

图 10 两种模型的多卫星雪深估测值与雪深参考值Fig. 10 Snow depth estimations of multi-satellite from two models and snow depth references

图选项

由表 1、表 2和图 10分析可知，不管是单卫星估测雪深还是多卫星融合估测雪深，采用滑动窗口算法从整体上改善了雪深估测值与实测雪深之间的部分偏差，各项指标明显优于基于小波变换的雪深估测数据和Snow_H2O雪深数据，初步表明滑动窗口优化估测结果的有效性。但是，表 1的各个单卫星估测结果之间仍存在部分异常跳变(如:PRN08和PRN27)，估测雪深的稳定性仍有待改善，这主要是因为不同GPS卫星的轨道差异，使得天线接收的反射信号来自不同地表位置和环境，从而干扰有效的反射信号，导致估测结果极易发生跳变。图 9中，通过采用滑动窗口综合多卫星的估测信息，并计算最优窗口内各卫星估测结果的等权均值，相较于单卫星估测结果进一步提高了稳定性和精度。如图 10中2017年DOY 28—DOY 34、DOY 45—DOY 70，地表雪深的快速上升和下降，基于小波变换和滑动窗口的GPS-IR估测雪深出现了同样的响应，而其余两种估测雪深数据受部分单卫星结果的跳变影响，雪深变化信息不够明显。同时，在地表雪深变化较平缓的时期(DOY 70—DOY 110)，前者估测结果的精度同样是最佳的。结合表 2的结果，Snow_H2O雪深数据和基于小波变换的GPS-IR估测雪深的各项精度指标无明显差异，而采用小波变换和滑动窗口的GPS-IR估测雪深与实测值的平均绝对偏差MAE和均方根误差RMSE分别为9 cm和10 cm，相关系数R达到0.95。相较于前两种方法，后者的精度提升了超过45%。结果表明:多卫星的反射信号可反映出不同地面位置的雪深信息。针对单颗GPS卫星难以精准测量的地区，多卫星融合的GPS-IR技术可有效提升估测精度。

2.3 顾及地表粗糙度的GPS-IR雪深估测精度验证

结合2.2节的研究结果可知，小波变换和滑动窗口相结合可有效改进GPS-IR经典模型的精度和稳定性，但是优化后的GPS-IR精化模型的估测结果仍与实测雪深之间存在约10 cm的估测偏差。因此，本文进一步分析了地表粗糙度(主要是地形起伏)对构建的GPS-IR精化模型精度的影响。此处不直接采用测站高度作为固定的反射高度基准，通过利用GPS-IR精化模型估测地表无积雪覆盖时期的多卫星反射高度，并解算出多个反射高度的等权均值，以此作为新的反射高度基准。图 11表示2016—2017年雪季的实测雪深与估测雪深的变化。

图 11 地表粗糙度修正后的雪深估测值与雪深实测值Fig. 11 Snow depth estimations after surface roughness correction and in situ measurements

图选项

从图 11中看出，在利用小波变换和滑动窗口进行数据优化的基础上，采用新的反射高度基准获取长时间的雪深序列，其与实测雪深的吻合度进一步提高，两者的均方根误差RMSE和相关系数R分别为6 cm和0.98。其中，2016年DOY 336—DOY 366、2017年DOY 1—DOY 55的雪深估测性能较为良好；2016年DOY 310—DOY 330、2017年DOY 60—DOY 121的雪深估测偏差明显超过其他时段，且这些估测值均小于实测值。由此推断，地表粗糙度导致的估测偏差仅得到部分修正，同时电磁波信号可能穿透少量的积雪层，从而使得估测值有所降低。此外，在2017年DOY 128—DOY 151(地表无积雪)，修正后的估测值与实测值的偏差有所增加，其原因可能是解算新的反射高度基准的数据源为2016年10月，冬季地表裸露且较光滑，而此时段为夏季，地表植物覆盖物较多，从而干扰了估测的反射高度。由于GPS-IR技术估测雪深的机制十分复杂，除了上述的影响因素之外，实测雪深数据的时间分辨率较低、GNSS测站与气象站的距离等同样是估测偏差产生的原因。

3 结论

高精度、长时间、连续监测地表雪深变化对于气候学、环境科学和水资源管理等研究具有重要的实际意义。针对GPS-IR雪深估测研究存在的一些问题，如反射信号的提取效果不佳、统计模型中存在随机估测偏差以及地表粗糙度的影响等，本文以信号分离和多卫星融合为核心思路，提出了一种小波变换和滑动窗口相结合的GPS-IR雪深估测精化模型。本文获得以下结论:

(1) 由于原始SNR信号受大气层和多路径环境等影响，卫星信号的趋势项往往具有差异性。多项式拟合法依赖于人为经验，信号拟合和分离的效果一般。利用小波变换的时频信号分析优势可有效提高多路径反射信号的分离性能。

(2) 单卫星估测结果的异常跳变使得其稳定性有待提高，多卫星融合可覆盖更大的反射区域，全面综合测站周边区域的雪深信息。采用阈值约束下的滑动窗口算法可提取出多卫星估测结果中的“数据集群”，从而削弱部分随机偏差，模型精度提升明显。

(3) 在构建的GPS-IR精化模型的基础上，估测值与实测值之间仍存在一定偏差。考虑到地表粗糙度对GPS-IR模型机制的影响，采用无积雪覆盖下估测的反射高度作为新的反射高度基准，修正了部分地形偏差。相较于未修正的结果，RMSE降低了4 cm，相关系数R达到0.98。

综上所述，小波变换和滑动窗口相结合的GPS-IR雪深估测精化模型是有效、可靠的，明显提高了估测精度和稳定性。接下来，如何建立更精准的地表粗糙度修正模型以及联合多模多频GNSS数据估测高时空分辨率的雪深数据值得进一步研究。

致谢:特别感谢UNAVCO提供的GPS观测数据以及PBO H2O和SNOTEL提供的雪深参考资料。

作者简介

第一作者简介：边少锋(1961-), 男, 博士, 教授, 研究方向为大地测量学。E-mail:sfbian@sina.com

通信作者：周威, E-mail: boy123455@126.com

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