关注“中考数学当百荟”，感谢您的支持！

50.如图，Rt△MNP中，斜边MP=5，MN=3，点M（0，t）在y轴上运动，点N，P在直线x=3上，以直线x=3为对称轴的抛物线y=－1/3x^2＋bx＋c过点R（t＋3，0），若上述抛物线与线段MP始终有交点Q.

（1）求t的取值范围；

（2）若存在Q（x0，y0），使得点M的位置唯一确定，求此时点M和点Q的坐标.

关注“中考数学当百荟”，感谢您的支持！

关注“中考数学当百荟”，感谢您的支持！

难点解析

此题的第1个难点在于如何正确理解“抛物线与线段MP始终有交点Q”，而实际上绝大多数同学正是因为不能理解这句话的意思，或者虽会其“意”，但难表其“型”，因而被卡在此处，动弹不得。

下面从两种不同角度谈谈对这个难点如何突破

（1）动点类问题，培养画面感（直观感受）是非常有必要的！

就本题而言，点M是动点，并且是主动点，其他点（N，P，Q等）都是从动点，包括还有另外一个图中没有标注的点：抛物线与y轴的交点C。能够从这些动点中，将目光聚焦到有助于理解题意的几个关键点上，象过电影画面一样，确定几格关键帧，就能突破难点。

想象一下这样一个画面：当M在y轴上上下运动时，点Q，C，将随之运动，这三个点的位置有何关联。你会发现总有这样一个规律：当点C位于点M的下方（或重合）时，点Q始终存在。不要小看这个直观发现，这个发现恰恰是解开上述难点的金钥匙！对本题而言其意义绝对称得上伟大。在实战中，若你有此发现，成就感会油然而生！

换一句话说，“抛物线与线段MP始终有一个交点”与“交点C在M点（或重合）下方”是等价的（通俗地说，两种说法是一致的）！

用数学语言来表述：当点C的纵坐标≤点M的纵坐标时，则抛物线与线段MP始终有一个交点。

而无论点C还是点M，求其纵坐标是难不倒同学你的，我相信！至此，“抛物线与线段MP始终有交点Q”得到完美解释！

这里面包含了数学中常用的一种基本思维方法：转化。

所谓转化就是将一个难于理解的命题转换为另一个易于理解且与它等价的命题。

（2）常规思维，理解“抛物线与线段MP始终有交点Q”

直线与抛物线的交点问题，是函数类问题的基本知识点。交点的存在性，交点的坐标均与方程的解的情况、方程的解密切相关。从直线MP到线段MP，不外乎自变量x的取值范围由任意实数（－∞＜x＜＋∞）变为0≤x≤3。显然由常规方法求出的解x，必须符合0≤x≤3这个条件限制。

此题的第2个难点在于如何正确理解“存在Q（x0，y0），使得点M的位置唯一确定”，从某种角度说，这比第1个难点理解更困难。只能从反面来思考看看，在线段AB上，任取一点作为交点Q，比如Q（1，t－4/3），此时对应的M1（0，0）或M2（0，3），显然此时点Q（1，t－4/3），M在M1（0，0）或M2（0，3）这两个位置都能符合，显然是不符合题意的。换一句话说，要符合题意，则M1，M2必须重合！而两点重合，意味着关于t的方程必须有两个相等实数根，且在（1）的条件下。

实际操作步骤

第1问 求t的取值范围

第一步 勾股定理求出NP=4，将三点坐标写出M（0，t），N（3，t），P（3，4－t）

第二步 求抛物线解析式

设y=－1/3（x－3）^2＋m过点R（t＋3，0），则m=1/3t^2，

从而y=－1/3（x－3）^2＋1/3t^2

按（1）理解

第三步 求抛物线与y轴交点C

令x=0，则yC=－3＋1/3t^2

第四步 当点C不在点M的上方时，抛物线始终与线段MP有唯一交点。

建立数学模型：－3＋1/3t^2≤t

第五步 解上述一元二次不等式

1/3t^2－t－3≤0

将其转化为关于t的二次函数y2=1/3t^2－t－3，当函数值非正时，求自变量t的取值范围；

再转化为抛物线y2=1/3t^2－t－3的图象上不在x轴上方的部分，

即先求y2=0时，t1=3/2（1－根号5），t2=3/2（1＋根号5）

再观察出符合条件的t在两根内

3/2（1－根号5）≤t≤3/2（1＋根号5）

按（2）理解

第三步 建立数学模型

由抛物线的“对称”性可知，判断抛物线与直线MP的交点（x1，y1），（x2，y2）必然在对称轴x=3的两侧（设x1＜x2）。

要使交点始终在线段MP上，只要0≤x1≤3即可，并且交点不可能为P点（为什么？请思考！），因而0≤x1＜3，甚至可以断定无论t为何值，都有x1＜3 ！（为什么？请思考！）因而只需考虑x1≥0即可。

第四步 求x1

先求出直线MP的表达式：yMP=－4/3x＋t 抛物线y=－1/3（x－3）^2＋1/3t^2

联立解析式，解得x1=5－根号（t^2－3t＋16），x2=5＋根号（t^2－3t＋16）＞3

因而0≤5－根号（t^2－3t＋16）＜3，

只需5－根号（t^2－3t＋16）≥0

即t^2－3t＋16≤25＝＞t^2－3t－9≤0＝＞3/2（1－根号5）≤t≤3/2（1＋根号5）

第2问 若存在Q（x0，y0），使得点M的位置唯一确定，求此时t的值

第一步 联立直线与抛物线解析式得方程

x^2－10x－t^2＋3t＋9=0

当Q（x0，y0）存在时，x0^2－10x0－t^2＋3t＋9=0

将其视为关于t的一元二次方程

t^2－3t－（x0^2－10x0＋9）=0 有两个相等实数根时符合题意

△=0 ＝＞ 4 x0^2－40x0＋45=0

解得x0=（10－根号55）/2或x0=（10＋根号55）/2，且 t=3/2

此时M（0，1.5）

Q（（10－根号55）/2，（－31＋4根号55）/6）或

Q（（10＋根号55）/2，（－31－4根号55）/6）

两点反思

1.“抛物线与线段MP始终有交点Q”，以上两种理解抽象出的数学模型均为一元二次不等式（组），以及函数自变量范围的讨论。

即便同学你能建立起数学模型，但求解仍然是一个不小的挑战！由于受课标要求所限，初中学段函数教学对于函数的定义域（自变量取值范围）、值域（函数值取值范围）、还有一元二次不等式的解集的讨论，要求是不高的，而作为中考压轴题又要有超强选拔功能，所以经常会有命题者打擦边球涉及此类问题。这也是中考命题广受诟病的原因之一（社会上谓之为超纲，难题！）。

2. “存在Q（x0，y0），使得点M的位置唯一确定”的理解转化为关于t的一元二次方程根的情况的讨论，转化过程因为更加抽象，因而跨度极大，不经过特别训练，一般人很难达到这个高度！（只有极少数“学霸”可以达到）所以一般人思维遇阻属正常，不要有挫败感！

关注“中考数学当百荟”，感谢您的支持！点击“了解更多”