初三数学期末考试必考考点之一元二次方程及其根的考点详解

本课程适用于九年级以及九年级以上的学生，尤其是针对即将参加2019年期末测试的九年级的学生，快来跟我们一起学习吧，争取在期末测试获取理想成绩哦！

符号说明：x的二次方，记作：x^2。

乘法符号记作*，如2乘以2记作：2*2。编辑页面的格式有限，咱们就这样进行相关的标记了

1 一元二次方程

基本概念：含有一个未知数，未知数的最高次数为二次，则为一元二次方程，关于哪个变量的方程为一元二次方程则其最高次数必须为2次，且必须为等式才行。

即一元二次方程有三个特征性质：

（1）含有等号。

（2）含有一个未知数。

（3）未知数的最高次数为2次。

常见一元二次函数的形式：ax^2+bx+c=0（a不为0）注意，此处a一定不能为0。

考题训练1：

已知|a+2|x^2-x^2+(a-1)x^4+5ax+a=0是关于x的一元二次方程，则a的值为：

A 0

B 1

C -1

D 不存在

解析：根据上面讲到的一元二次方程的三个特征性质进行相关的判断即可。

关于x的一元二次方程，因此（a-1）=0，且将x^2的系数进行合并后的|a+2|-1不为0，解得：a=1

考题训练2：

已知：x^2*a^4-a^4+a^2+ax+x+a为关于a的一元二次方程，且不存在一次项，试问，x的值为（）

A 0

B 1

C -1

D 1或者-1

解析：按照题意进行相关的等式罗列即可。

（1）x^2-1=0

（2）x+1=0

解得：x=-1

易错点提醒：很多考生会认为是关于x的方程，结果列不出正确的等式，从而求不出来正确的结果。

2 一元二次方程的解法

无论是期末测试还是最终的中考这个都是必不可少的内容，学生们一定要在此块多下功夫，一旦粗心就会做错的！

一元二次方程的解法比较多，我们将这几种方法都给出总结，你根据自身的实际情况做出相关的方法选择，没有最好的方法，而适合自己的方法才是最好的方法！

讲解求根之前，你必须要知道的六个小概念：

关于x的一元二次方程，形如：ax^2+bx+c=0（a不为0）的形式。

一次项：bx，二次项：ax^2，常数项：c。

一次项系数：b，二次项系数：a，常数项c。

六个基本概念清晰后，我们来说一下解二元一次方程的方法和技巧

（1）因式分解法

常见的因式分解法有提取公因数法或者凑平方差或者完全平方法或者十字相乘方法。

注意：中考或者期末测试对求解医院二次方程的核心考点为因式分解法，所以学生们对此块内容要熟练掌握。

求解下列各式的根：

例题1：3x^2+3x=0

提取公因数x得：3x（x+1）=0

解得：x=0或x=-1。

例题2：x^2+2x+1=0

可以凑为完全平方式，得：

（x+1）=0，得：x=-1。

例题3：x^2+7x+12=0

十字相乘因式分解：

x 3

x 4

得：（x+3）*（x+4）=0，得：

x=-3或者x=-4。通常我们将两个根记作：x1和x2。

局限性：只能适用于可以因式分解的一元二次方程求解方程的根。

（2）公式法

公式法是所有一元二次方程中都可以使用的方法，需要记住公式的原形，否则就会求错哦！

首先找到一次项和二次项的系数，以及常数项，然后代入下面的两个公式分别进行求根即可，这个公式会保证你的根万无一失的哦！

x1=[-b+（根号(b^2-4ac)）]/(2a)

x2=[-b-（根号(b^2-4ac)）]/(2a)

例题4：x^2+2x-1=0

解析：a=1，b=2，c=-1

所以两个根：

x1=[-b+（根号(b^2-4ac)）]/(2a)=[-2+根号（(-2)*(-2)-4*1*(-1)）]/(2*1)=-1+（根号2）

x2=[-b-（根号（(b^2-4ac)））]/(2a)=[-2-根号（(-2)*(-2)-4*1*(-1)）]/(2*1)=-1-（根号2）

注意：这个方法一定要保证公式回答正确了，否则就会计算错的。

技巧：为保证这个方法万无一失地求正确，建议大家一步步的来，将a，b，c进行罗列，再进行公式的代入求解，一定要“步步为营”，处处小心，求解完以后一定要再带回去原来的方程中，看看是否满足，否则就求错了！

（3）配方法

这个在中考和期末测试中考察的比较少，但是还是有那么一小部分学生喜欢用这个方法来解方程，我们直接给出相关的例题讲解这个方法的核心思想吧！

例题5：x^2+4x-5=0

（配方法的思路：等式左边化成完全平方的形式，右边是常数项，然后利用平方根公式进行相关的求解即可。）

解析：x^2+4x+4-5-4=0

移项得：x^2+4x+4=5+4=9

即：（x+2）^2=9

由平方根的求解得：x+2=3或者x+2=-3

得：x=1或者x=-5

3 一元二次方程的两个根的关系

上面我们对三个相关的求根方法进行了详解，接下来我们来给出具体的两根之间的关系，也即中考必考的神圣定理之韦达定理：

上面给出了公式法进行两个根的求解：

x1=[-b+（根号(b^2-4ac)）]/(2a) ①

x2=[-b-（根号(b^2-4ac)）]/(2a) ②

①和②左右两边同时相加，得：

x1+x2=-2b/2a=-b/a

①和②左右两边同时相乘得：

x1*x2=[(-b)^2-(b^2-4ac)]/(4*a^2)=c/a

注意：此处的两个根都有开根号运算，因此要想求得的结果为两个根，必须要满足：

b^2+4ac>0，否则无法去谈论两个根的和或者积。

因此当b^2+4ac=0时，只有一个根，没有必要研究其两个根的和或者积。

而当b^2+4ac<0时，没有根，也不存在什么两根和与两根之积了。

求下列一元二次方程的两根之和与两根之积：

例题6：2x^2+4x+6=0

错误求解：

x1+x2=-b/a=-4/2=-2

x1*x2=c/a=6/2=3

正确求解：

首先判断其有没有根，b^2-4ac=4*4-4*2*6=16-48=-32<0，因此原方程没有实数根，也没有两根之和与两根之积。

例题7：

2x^2+4x-6=0

解：b^2-4ac=4*4-4*2*(-6)=16+48=64>0，因此其有两个不相等的实数根。

所以直接利用韦达定理求解得：

x1+x2=-b/a=-4/2=-2

x1*x2=c/a=-6/2=-3

注意：在运用韦达定理之前，一定要保证根的判别式大于零才可，否则就会中了出题人的圈套了！

本次课程我们就先讲到这里了，下次课再见！如您有相关的疑问，请在下方为我们留言，我们将第一时间给以您满意的答复！

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