【考试要求】

1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响；

2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．

【知识梳理】

1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.

4.三角函数应用

(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.

(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k中的待定系数.

(3)把实际问题翻译为函数f(x)的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.

【微点提醒】

1.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.

2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标.

3.音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y＝Asin ωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率(对应音高)，A表示纯音振动的振幅(对应音强).

4.交变电流可以用三角函数表达为y＝Asin(ωx＋φ)，其中x表示时间，y表示电流，A表示最大电流，表示频率，φ表示初相位.

【考点聚焦】

考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

【规律方法】　作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：

(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；

(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.

考点二　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

【规律方法】　1.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，利用周期性求ω，难点是“φ”的确定.

2.y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法

(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.

(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.

考点三　y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用

角度1　三角函数模型的应用

角度2　三角函数性质与图象的综合应用

【规律方法】1.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题.

2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.

3.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.

【反思与感悟】

1.五点法作图及图象变换问题

(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；

(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化.

2.由图象确定函数解析式

解决由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象确定A，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.

【易错防范】

1.由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩再平移时，要把x前面的系数提取出来.

2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.

3.求函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值，可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图象得出y＝Asin t的值域.

【核心素养提升】

【逻辑推理与数学运算】——三角函数中有关ω的求解

数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成.

类型1　三角函数的周期T与ω的关系

类型2　三角函数的单调性与ω的关系