几何最值问题是初中数学中一类综合性很强的问题，在整个初中数学的学习中都存在最值问题，这类试题也是近几年中考的热点问题之一，它主要考查学生的探究能力和创新意识和运用所学数学知识解决实际问题的能力，对学生思维能力的要求很高.

具体地说，在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

几何图形中的最值求解方法

（1）最小值问题

1.找对称点求线段的最小值；

步骤：找已知点的对称点，动点在哪条线上动，就是对称轴；连接对称点与另一个已知点；与对称轴的交点即是要找的点；通常用勾股定理求线段长；

2.利用三角形三边关系：两边之差小于第三边；

3.转化成其他线段，间接求线段的最小值；例如：用点到直线的距离最短，通过作垂线求最值；

4.用二次函数中开口向上的函数有最小值；

（2）最大值问题

1.当两点位于直线的同侧时，与动点所在的直线的交点，这三点在同一直线时，线段差有最大值；

2.当两点位于直线的异侧时，先找对称点，同样三点位于同一直线时，线段差有最大值；

3.利用三角形三边关系：两边之和大于第三边；

4.用二次函数中开口向下的函数有最大值.

下面结合一道典型问题来谈一下几何最值解题策略中常用两招数，期待中考最后复习有所深化，熟练掌握几何最值得解题思路。

典型问题：在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°．M为BC的中点，则PM的最小值为______ ．

招数1 函数思想 配方最值

【解析】本题考查相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型

如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝4，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，

∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，

招数2 几何构造 求最值

【解析】回顾初中几何求最值得知识源（1）两点之间，线段最短；（2）点到直线，垂线段最短。

目标线段PM的两个端点，点P（确定），点M（运动），即"一动一定"型单线段最值问题，其关键是确定动点M的运动轨迹，构如上辅助线，易证：AM=OM，故点M在线段OA的垂直平分线上，于是问题转化为点到直线垂线段最短。

【解答】当B在原点时，OA＝2√5，BC＝10，点M2（5，0）；当C在原点是，B（0，5），M1（0，5/2），点M在经过（5，0）和（0，5/2）的直线上，设直线解析式为y＝kx+b，

变式（2019•福建二模）如图，已知A（3，6）、B（0，n）（0＜n≤6），作AC⊥AB，交x轴于点C，M为BC的中点，若P（3/2，0），则PM的最小值为（ ）

【解析】本题考查相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型。

作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝4，

解题反思：在解题时要能灵活选用，从而能达到融汇贯通的境界。具体分析思考特点如下：①从数量与位置两个角度去分析已知条件中不变的量与变化的量。 ②适当地选取变量，建立几何元素间的相等或不等关系。③根据便与不变的几何关系，把最值问题归为特殊位置或 极端位置的合理推理. 最值问题的解题策略最终化归两种方法（1）代数法；（2）几何法，这两种方法各有优劣，其中代数法思维量要求低，计算能力要求高；几何法思维要求高，计算量小。