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正三边形到正十七边形,如何用尺规作图作出?

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前言:

目前我们对“正六边形有几种画法”都比较注意,小伙伴们都想要了解一些“正六边形有几种画法”的相关资讯。那么小编也在网摘上搜集了一些对于“正六边形有几种画法””的相关内容,希望看官们能喜欢,看官们一起来了解一下吧!

第一大类:

我们先看第一大类不能用尺规作图实现而采用近似画法的正7,9,11,13,14,15边形。

正七边形:

近似正七边形的作法:


1,以圆心O,定长R为半径画圆,并作出两条互相垂直的直径MN,AP。

2,七等分直径MN。

3,以M为圆心,MN为半径画弧,交OA延长线于A1,交OP延长线于P1。

4,将A1,P1与直径上第2,4,6个等分点并延长,交圆周于B,C,D,E,F,G。

5,连接MBCDEFG则得正七边形。

这是一个近似的做法。

改进:由4步确定边长改为3 步确定边长

1;作圆,圆心为O

2;作弦长为半径大小的弦AB

3;作弦AB的中垂线,垂足为C

4;以OC为长度单位(OC即是所作正七边形边长),划分圆,并连接各分点,即是所求正七边形。

正九边形,正十一边形,正十三边形,正十四边形,正十五边形只需将以上的MN等分成相应的份数,然后画弧,延长,相交,连接,即可,对于正十四边形还可以通过对正七边每条边等分即可得。


(正九边形)


(正十一边形)


(正十三边形)


(正十四边形)


(正十五边型)

第二大类:

可以用尺规作图实现的正多边形

正三边形:


(1)做任意长度线段AB

(2)分别以A、B为圆心,以AB长为半径画弧,两弧交于一点C

(3)连接AC、BC

则三角形ABC即为所求

正四边形:


正四边形:用圆规做圆,过圆心做互相垂直的直径,依次连接直径与圆的交点

正五边形:


①以O为圆心,定长R为半径画圆,并作互相垂直的直径MN和 AP.

② 平分半径ON,得OK=KN.

③以 K为圆心,KA为半径画弧与 OM交于 H, AH即为正五边形的边长.

④以AH为弦长,在圆周上截得A,B,C,D,E各点,顺次连接这些点即得正五边形.

对于6,8,10,12我们可以通过相应的1/2边即3,4,5,6再平分即可得,正16边形方法类似。


(正六边形)


(正八边形)


(正十边形)


(正十二边形)

经过一番跋涉,我们终于来到了最后一个,也是最难的一个——正十七边形

先看图


看完之后,你是否是这样?


不急,我们慢慢说

1.给一圆O,作两垂直的直径AB、CD.

2.在OA上作E点使OE=1/4AO,连结CE.

3.作∠CEB的平分线EF.

4.作∠FEB的平分线EG,交CO于P.

5.作∠GEH=45°,交CD于Q.

6.以CQ为直径作圆,交OB于K.

7.以P为圆心,PK为半径作圆,交CD于L、M.

8.分别过M、L作CD的垂线,交圆O于N、R.

9.作弧NR的中点S,以SN为半径将圆O分成17等份.


看完了,来听个故事:

一天晚上,19岁正读博的高斯的导师由于疏忽将两千多年未解决的一个问题——尺规做正十七边形留给了高斯,高斯优哉游哉得咬着笔头写着作业,然后表情严肃起来,妈的这题有点BT啊!想啊想,通宵一晚,伴着拂晓的晨光,高斯铅笔一扔,胸口长舒一口气。心说,唉,最近智商又下降了,想我9岁算1+2+3……+100也没用这么长时间啊,这么个破题居然花了一晚上时间!第二天拿给博导,博导惊了,对他说,这可是阿基米德牛顿都没做出来的题啊!你真是个天才啊!后来高斯给出了尺规作图正多变形的充分必要条件,也就是刚开始的那个定理。

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