长方体或正方体的长、宽、高的变化常引起该几何图形的表面积和体积的变化，这也是本章常考的具有代表性的题型。而要想解决这类问题，就需要我们找出与所变动的量相关联的量及它们的内在联系，再利用体积（或表面积）公式解决所给的问题。

例1、一个长方体，如果高增加3厘米就会变成一个正方体，表面积会增加84平方厘米，原来这个长方体的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？

分析：原来的长方体高增加之后就会变成一个正方体，说明原来长方体的底面是一个正方形；而且随高而增加的表面积分别是以原长方体的长（宽）和增加的高为两边的四个长方形的面积，且这四个面的面积相等。

所以每个面的面积为：

84÷4＝21平方厘米。

所以原长方体的长（宽）为：

21÷3＝7厘米。

故原长方体的高为：

7－3＝4厘米。

知道了原长方体的长、宽、高，则很容易就算出其表面积和体积。

解：84÷4＝21平方厘米，

21÷3＝7厘米，

7－3＝4厘米。

S＝（7×4＋7×7＋4×7）×2

＝210平方厘米。

V＝7×7×4

＝196立方厘米。

答：原长方体的表面积为210平方厘米，体积为196立方厘米。

例2、一个长方体，如果高减少2厘米，就成了一个正方体，而且表面积减少了64平方厘米。原来这个长方体的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？

分析同上。

解：64÷4＝16平方厘米，

16÷2＝8厘米，

8＋2＝10厘米。

V＝8×8×10

＝640立方厘米，

S＝（8×10＋8×8＋10×8）×2

＝448平方厘米。

答：原长方体的体积是640立方厘米，表面积为448平方厘米。

例3、一个长方体，如果宽增加4厘米就会变成一个正方体，且体积会增加196立方厘米，原来这个长方体的体积是多少立方厘米？表面积是多少平方厘米？

分析：由题意知原长方体的长和高相等，也即该长方体的前面和后面是正方形，体积增加的部分就是以原长方体的长和高为底，以4厘米为高的小长方体的体积。

所以原长方体前面的面积为：

196÷4＝49平方厘米，

故原长方体的长和高为7厘米，宽为7－4＝3厘米。

所以原长方体的体积为：

7×7×3＝147立方厘米，

表面积为：

（7×3＋7×7＋3×7）×2＝182平方厘米

答：原长方体的体积为147立方厘米，表面积为182平方厘米。

例4、一个长方体，其长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米，若高增加m厘米，那么该长方体的表面积增加多少平方厘米？体积增加多少立方厘米？

解：

表面积增加2（a＋b）m平方厘米

体积增加abm立方厘米。