数学中的充分和必要条件及量词命题

高中数学中介绍了命题的基本原则以及全量词和存在量词命题的描述，这些知识紧扣时代主题，迎合了计算机编程，人工智能及离散数学的基本知识。

命题的定义：命题是一个声明性的句子，用来表示一个可真可假的事实。

在逻辑上，命题为真用大写字母T（True）表示，命题为假，用字母F（False）表示。

例如：北京是中国的首都，是一个真命题。

多伦多是加拿大的首都，这是一个假命题。

有些命题不知道是真是假，如：每一个大于2的偶数都可以写成两个质数的和。这是一个命题，就是著名的哥德巴赫猜想， 已经提出了两百多年，至今没有人证明出来是对还是错。

有些句子不是命题， 如：几点了？因为这不是一个声明性的句子。

同样：x + y = z 也不是命题，因为它既不对也不错，只有赋予变量数值时才能变成命题。

命题用小写的字母p, q, r来表示。

否命题：如果有个命题是p, 它的否定命题表示为¬p, 读作非p.

例如：小明喜欢跑步为原命题，则否命题为: 小明不喜欢跑步。

逻辑上可以用一个表格来判断命题正误，这个表格叫真值表。

合命题：若p, q两个命题同时作用，记作p^q, 读作p和q, p^q为真，必须p和q同真或同假。

分命题：如果命题p或者q中有一个成立，记作p∨q,称为分命题。当p与q都是假命题时，p∨q才是假命题。

条件命题：如果p和q都是命题，从p可以推出q,记作p→q,是条件命题，它的含义是如果p, 那么q。p是假定或条件，q是结论或结果。

充分条件和必要条件：在条件命题p→q中，p被称为q的充分条件，q为p的必要条件。

例如：p=若四边形为长方形，q=则这个四边形的两组对角线相等.

这里p是q的充分条件，因为由p可以推出q, 但由q推不出p, 因为对角线相等的四边形也有可能是等腰梯形。所以我们说对角线相等是长方形的必要条件，必要条件可以还有其它，如必须有一个直角的四边形也是四边形是长方形的必要条件。

双条件命题：如果p和q都是命题，有p→q且q→p,即由p可推出p,由q也可以推出p,

记作p ↔ q。在数学经常表述为当且仅当（if and only if）来表达p与q的双条件命题。

若p ↔ q，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件。

全称量词：在一个特定的定义域M内，如果对于所有的变量x, 或者类似“任意一个”变量x， 命题P(x)都成立，这种量化为全称量词。全称量词命题记作：∀x∈M，P(x)。这里∀ 是全称量词，意思是对任何M范围内的x, P(x)都成立。

存在量词：在一个特定的定义域（domain）M内，如果存在一个或至少一个x, 使得p(x) 成立，则称这种量化为存在量词。存在量词的命题记作：∃x∈M ，P(x)，这里∃就是存在量词，读作“存在”。

从上面的论述中可以看出，数学里可以用较少的文字描述，只用符号和公式就能表达规律。两个数学家可能彼此不会对方的语言，但他们可以读懂对方的论文，这是不是很诗情画意？这是因为大家都用同样的数学语言。这在计算机编程上时常看见。