卷合辑。

说说关于一道真卷上问题的分析！

1. 这时候就发现了一个很重要的事情，这个因此总是程度而出现的对不对？大家好，今天是开学第一天，我来给大家看一道非常经典的真卷上的问题。一间屋子里有一百盏灯，依次编号为一到一百，且每盏灯都是关着的。现有一百个学生在门外排队，第 n 个学生进入屋子后，把所有编号为 n 的倍数的灯线全都拉了一下后出来。意思就是比如原来一盏灯是关着的，把它的灯线拉一下就变成亮的了。如果原来一盏灯是亮的，把它拉一下就变成暗的。

2. 所以等这一百名学生都出来后，房间中有哪些灯是亮的？现在问题是有哪些灯是亮的，也就是题目要具体把灯的编号找出来，一个一个去找显然太费时间了。来看一下在何种情况下灯线才会被拉？原题中是这样说的：第 n 个学生进入屋子后，把所有编号为 n 的倍数的灯全都拉了一下，也就是 n 得是灯编号的一个因数，这等灯才能被第 n 个同学来拉一下。所以现在需要考虑的是每个灯的因子数量。

3. 这样来看，如果它的因子数量是奇数，如果它的因子数量为奇数就可以推出一个结论。知道它刚开始是关着的，所以被拉加了奇数次后就变成亮着的，这就符合题目条件。也就是如果它的因子数量为奇数，问题就要找的是这类灯。如果为偶数就可以推出来，拉了偶数次就是关着，关着就不符合题意，也就是不要这种灯。

4. 所以现在这个题就变成了一到一百中有哪些数的因子数量是奇数。到这有的同学应该就会做了，因为因子的数量是可以算的，但是如果没有学过这个公式依然能做这个题。首先来随便取一个数，比如 24，来看一下，如果给它分解成各个因子，那么会出现什么情况？它等于 1x24，还等于 2 乘 12，还等于 3 乘 8，还等于 4 乘 6。所以在小学的时候就知道 1、24、2、12、3、8、4 和 6，这总共 8 个都是它的因子，然后就没有其他的因子了。

5. 这时候就发现了一个很重要的事情，这个因子总是成对出现的，对不对？1 和 24 是一对，2 和 12 是一对，3 和 8 是一对，4 和 6 是一对。也就是说如果一个正常的数，它的因子数量应该是偶数。

6. 为什么会出现因子数量为奇数的情况？知道因子是互不相同的，也就是说有可能在这些对对里面，比如 1 和 24 在每一个小对里面出现了两个相同的数，比如 24 的下一个 25 就等于 1 乘上 25，还等于 5 乘上 5，但是它就推出来一共有三个因子。这是因为 5 和 5 这两个数是完全一样的，所以在数因子的时候是一个、两个、三个，最后一个 5 就忽略不计了。

7. 想必到了这里大家应该发现了，只有这种完全平方数才能出现因子重复的数量，最终导致因子的数量为奇数。所以最终的结果就是只有完全平方数满足条件，也就是说有 10 个等式量的，分别是 1、4、9、16、25、36、49、64、81 和 100。大家听懂了吗？

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