九连环是中国最杰出的益智游戏。九连环作为我国民间玩具，以金属丝制成9个圆环，将圆环套装在横板或各式框架上，并贯以环柄。游戏时，按照一定的程序反复操作，可使9个圆环分别解开，或合而为一。

“九连环”现已成为一种国际性的益智游戏，国内外都有学者在研究，拆解九连环的过程中也蕴含着一些数学原理。

九连环的迷人之处

一是挑战性。任何一种连环的解法都具有较高的难度，有的难度极高，甚至令人觉得根本不可能解开。因此解连环就具有强大的挑战性，强烈地吸引着人们的好奇心和征服欲。

二是规律性。智力玩具都有其内在的规律，连环类玩具的规律性则特别强，必须按照特定的程序，有条不紊地操作，才能最终解开。

三是趣味性。伴随着挑战性和规律性而来的是趣味性。苏霍姆林斯基说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。而在儿童的精神世界中，这种需要则特别强烈。”因此，人们对智力玩具具有天生的爱好，都想探索它、研究它、发现其中的奥妙，儿童更是如此。挑战性越强就越能吸引人，发现规律的过程往往令人心醉神迷。

九连环上下原则

改变某一环状态（上方和下方）必须要满足以下三条规则：

1、 九连环中的第一个环，在任何情况下都可上可下；

2、如果某一个环在上面的环杆上，而它前面所有的环都在下面的环杆上，那么这个环的后一个就可上也可下。这也就是说，如果我们想把第n个环卸下，那么第n-1个环要留在上面的环杆上，而第n-1个环前面的所有环都要在下面的环杆上。

3、每次只能解下或装上一个环。

数学证明

在数学证明中，九连环的拆解方法就涉及到了“数列”这一数学原理。

我们假设环的数量为n，记解开n连环所需的总步数是Sn, 解下每个环的步数为an；根据第二个原理我们可以推出，如若要卸下第n个环，就需要先卸下前n-2个环，其总步数就为Sn-2，这时再需要一步就可以把第n个环解下；而为了解下第n-1个环，还需要把前面的n-2个环套上，装上前n-2个环就需要Sn-2步（因为装上和卸下的步骤正好相反，所以步数相同），所以卸下第n个环需要an=2Sn-2+1步。因此，解开九连环所需要的步数就是一道数列题：“已知S1=1，S2=2，an=2Sn-2+1,求Sn（n≥3）。”

由上图可知，S9=341，即拆解一个九连环需要341步。

编程验证

用计算机编程来解九连环，通常将其视为二进制系统。因为其九个环有固定的顺序，且每个环都有位于上方和下方两种状态，因此若将环的两种状态分别给予代号1和0，则每种状态可以用9位二进制代表，解法用到了递归思想。

定义解开n连环的操作为solve(n)，它的逆过程为rsovle(n)，即把n连环套上去的过程。因为后者只是前者的逆过程，以下只讨论solve(n)。

n=1和n=2的情形很显然能得出：

1						0-> 12           00 -> 01 -> 11

n>2的过程如下：

1		solve(n - 2);2		flip(n - 1);3		rsolve(n - 2)；

solve(n - 2);flip(n - 1);rsolve(n - 2);

熟悉九连环的人解开处于原始状态下的九连环所需的时间大概是6分钟左右，解开11连环则需24分钟左右，以此类推，如要解开17连环就要一昼夜以上，这不仅仅是在解环，也是在挑战自身的极限。这也就是九连环自诞生之后，虽然步骤简单却可以在民间广为流传，盛行不衰的原因吧。

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