视频详解：02-机器学习-逻辑回归-LogisticsRegression

一、Logistic回归定义logistic回归又称logistic回归分析，是一种广义的线性回归分析模型，逻辑回归的原理是用逻辑函数把线性回归的结果(-∞,∞)映射到(0,1)逻辑回归是分类算法，大家都熟悉线性回归，一般形式是Y=aX+b，y的取值范围是[-∞, +∞]如何实现分类：把Y的结果带入一个非线性变换的Sigmoid函数中，即可得到S取值范围(0,1)，可以看成是一个概率分布应用场景预测一个用户是否点击特定的商品判断用户的性别预测用户是否会购买给定的品类判断一条评论是正面的还是负面的逻辑函数

表达式：

函数图：

函数中z无论取什么值，其结果都在[0,-1]的区间内，我们假设分类的阈值是0.5，那么超过0.5的归为A分类，低于0.5的归为B分类，阈值是可以自己设定的。

二、逻辑函数的导函数

逻辑函数的表达式为：

导函数为：

可做如下转换：

逻辑函数是一个连续且任意阶可导的函数

三、如何求解逻辑回归中的参数？1、极大似然函数

举个例子；如果我们已经积累了大量的违约客户和正常客户的样本数据，利用极大似然函数由果溯因，估计出使得目前结果的可能性最大参数(系数)θ，有了参数我们就可以求任何一个客户违约的概率了。

我们假设信贷违约的后验概率：

相应的可以得到客户不违约的概率：

如果令

违约的后验概率可以写成：

不违约的后验概率可以写成：

对于某一个客户，我们采集到了样本数据(x,y)。对于这个样本，他的标签是y的概率可以定义成：

其中y∈{0,1}。当y=0时，上式为不违约的后验概率，当y=1时，上式为违约的后验概率。

现在我们有m个客户的观测样本：

将每一个样本发生的概率相乘，就是这个合成在一起得到的合事件发生的总概率(利用概率中的乘法公式)，即为似然函数，可以写成：

其中θ为待求参数。

注：我们总是希望出现目前结果的可能性最大，所以想要得到极大化似然函数对应的参数θ。

为便于求解，我们引入不改变函数单调性的对数函数ln，把连乘变成加法，得到对数似然函数：

至此，可以用梯度上升法求解对数似然函数，求出使得目前结果的可能性最大的参数θ。

2、最小化损失函数

方式二我们基于对数似然函数构造损失函数，用梯度下降法求出使得损失最小对应的参数θ

损失函数需求满足两个条件：

1、损失函数 可以衡量 模型的好坏

2、参数可导，便于求解最优解，也就是损失函数的最小值

结合上式中的极大似然函数，如果取整个数据集上的平均对数似然损失，我们可以得到:

其中J(θ)为损失函数，由对数似然函数前面添加负号取平均得到。

即在逻辑回归模型中，最大化似然函数和最小化损失函数实际上是等价的(求最大化对数似然函数对应的参数θ和求最小化平均对数似然损失对应的参数θ是一致的)，即：

四. 逻辑回归常用的求解方法

梯度求解基本步骤如下：

选择下降方向（梯度方向，∇J(θ)）选择步长，更新参数 θi=θi−1−αi∇J(θi−1)重复以上两步直到满足终止条件

4.1 一阶方法

梯度下降、随机梯度下降、mini 随机梯度下降降法。随机梯度下降不但速度上比原始梯度下降要快，局部最优化问题时可以一定程度上抑制局部最优解的发生

4.2 二阶方法：牛顿法、拟牛顿法：

牛顿法其实就是通过切线与x轴的交点不断更新切线的位置，直到达到曲线与x轴的交点得到方程解。在实际应用中我们因为常常要求解凸优化问题，也就是要求解函数一阶导数为0的位置，而牛顿法恰好可以给这种问题提供解决方法

牛顿法首先选择一个点作为起始点，并进行一次二阶泰勒展开得到导数为0的点进行一个更新，直到达到要求，这时牛顿法也就成了二阶求解问题，比一阶方法更快

拟牛顿法： 不用二阶偏导而是构造出Hessian矩阵的近似正定对称矩阵的方法称为拟牛顿法。拟牛顿法的思路就是用一个特别的表达形式来模拟Hessian矩阵或者是他的逆使得表达式满足拟牛顿条件。主要有DFP法（逼近Hession的逆）、BFGS（直接逼近Hession矩阵）、 L-BFGS（可以减少BFGS所需的存储空间）。

五.可以进行多分类吗？

方式一：

1.将类型class1看作正样本，其他类型全部看作负样本，然后我们就可以得到样本标记类型为该类型的概率p1。2.然后再将另外类型class2看作正样本，其他类型全部看作负样本，同理得到p2。3.以此循环

方式二：

1.多元逻辑回归 Softmax更合适一些。Softmax 回归是直接对逻辑回归在多分类的推广，模型通过 softmax 函数来对概率建模六.逻辑回归有什么优点LR能以概率的形式输出结果，而非只是0,1判定。LR的可解释性强，可控度高训练快，feature engineering容易出效果因为结果是概率，可以做ranking model七. 逻辑回归有哪些应用CTR预估/推荐系统的learning to rank/各种分类场景。某搜索引擎厂的广告CTR预估基线版是LR。某电商搜索排序/广告CTR预估基线版是LR。某电商的购物搭配推荐用了大量LR。某新闻app排序基线是LR八. 逻辑回归为什么要对特征进行离散化非线性！逻辑回归属于广义线性模型，表达能力受限；单变量离散化为N个后，每个变量有单独的权重，相当于为模型引入了非线性，能够提升模型表达能力，加大拟合； 离散特征的增加和减少都很容易，易于模型的快速迭代；速度快！稀疏向量内积乘法运算速度快，计算结果方便存储，容易扩展；鲁棒性！离散化后的特征对异常数据有很强的鲁棒性：比如一个特征是年龄>30是1，否则0。如果特征没有离散化，一个异常数据“年龄300岁”会给模型造成很大的干扰；方便交叉与特征组合：离散化后可以进行特征交叉，由M+N个变量变为M*N个变量，进一步引入非线性，提升表达能力；稳定性：特征离散化后，模型会更稳定，比如如果对用户年龄离散化，20-30作为一个区间，不会因为一个用户年龄长了一岁就变成一个完全不同的人。当然处于区间相邻处的样本会刚好相反，所以怎么划分区间是门学问；简化模型：特征离散化以后，起到了简化了模型，降低了模型过拟合的风险。代码演示-LogisticRegression数据集 irissklearn

## logistcs regresion# encoding: utf-8import numpy as npimport pandas as pdimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn.datasets import load_bostonfrom sklearn.model_selection import train_test_splitfrom sklearn.preprocessing import StandardScalerfrom sklearn.linear_model import LogisticRegression from sklearn.metrics import accuracy_score    # 1.加载数据iris = datasets.load_iris()X = iris.data[:, :3]  #取特质Y = iris.target# 2.拆分测试集、训练集。X_train, X_test, Y_train, Y_test = train_test_split(X, Y, test_size=0.2, random_state=100)# 3.标准化特征值 min-max / starnder deviion (平均值 + 方差=1）sc = StandardScaler()sc.fit(X_train)X_train_std = sc.transform(X_train)X_test_std = sc.transform(X_test) # 4. 训练逻辑回归模型logreg = linear_model.LogisticRegression(C=1e5,max_iter=100, solver='liblinear',multi_class='ovr')logreg.fit(X_train, Y_train)# 5. 预测##多元逻辑回归 Softmax 回归更合适一些。Softmax 回归是直接对逻辑回归在多分类的推广，相应的模型也可以叫做多元逻辑回归（Multinomial Logistic Regression）。#模型通过 softmax 函数来对概率建模y_pred= logreg.predict_proba(X_test_std)acc = logreg.score(X_test_std,Y_test)print('Train/Test split results:')print("准确率为 %2.3f" % acc)