1、什么是浮点数？

我们知道，数学中并没有浮点数的概念，虽然小数看起来像浮点数，但从不这么叫。那为什么计算机中不叫小数而叫浮点数呢？

因为资源的限制，数学中的小数无法直接在计算机中准确表示，为了更好地表示它，计算机科学家们发明了浮点数，这是对小数的近似表示。

2、IEEE754是什么？

知道了浮点数的概念，但需要确定一套具体的表示、运算标准，其中最有名的就是IEEE754标准。

本文的讨论都基于IEEE754标准，这也是目前各大编程语言和硬件使用的标准。

3、浮点数的构成

浮点数是指用符号、尾数、基数和指数这四部分来表示的小数。

浮点数

根据浮点数的组成，因为是在计算机中表示浮点数，基数自然是2（不存储），因此IEEE754浮点数只关注符号、尾数和指数三部分。

浮点数在计算机中的存储方式遵循IEEE754浮点数计数标准，可以表示为：

浮点数

类似于数学课本上所学的科学计数法表示方式：有效数字+指数位。

因此，只要给出：符号（S）、阶码部分（E）、尾数部分（M）这三个信息，一个浮点数的表示就确定下来了。一般IEEE754浮点数有两种类型，单精度浮点数（float）和双精度浮点数（double），还有其他的，不常用。单精度浮点数使用4字节表示，双精度浮点数使用8字节表示。所以float和double这两种类型的浮点数在计算机中的存储结构如下图:

单精度浮点数

双精度浮点数

符号位：0表示正数，1表示负数。

阶码部分（指数部分）：对于float型浮点数，指数部分8位，我们知道，在十进制的科学计数法中，指数可以是负数，而计算机存储浮点数的“指数部分”又是一个无符号的整数，因此，IEEE754标准规定，指数必须减去一个偏移值而得到真实的“指数值”。

偏移值的计算公式：2^(e-1) -1, e为阶码（指数）的位数，即为8，因此偏移值是2^(8-1) -1=127。

IEEE754规定，2^(e-1) -1的值是 0，小于这个值表示负数，大于这个值表示正数。因此，对于单精度浮点数而言， 2⁸⁻¹-1= 127 是 0；双精度浮点数，2¹¹⁻¹-1 = 1023 是 0。

没看懂？举个栗子。

比如十进制数 0.15625，转为二进制是 0.00101。为了让第 1 位为 1，执行逻辑右移 3 位，尾数部分成为 1.01，因为右移了 3 位，所以指数部分是 -3。

根据 IEEE754 的定义，单精度浮点数情况下，-3 的实际值是 127 - 3 = 124。明白了吗？127 表示 0，124 就表示 -3 了。

如果你还不理解，想想这个问题。

如果让你用扑克牌（A ~ K，也就是 1 ~ 13）来表示支持负数的。怎么办？我们会选择一个中间的数，比如 7 当做 0，因此 10 就是 +3，4 就是 -3。现在理解了吧！

那为什么单精度浮点数指数偏移值是127呢？

由于篇幅有限，这个留给大家自行查找资料。

尾数部分：浮点数的名称由来在于小数点的位置是浮动的，比如 7.5x10、0.75 x10² 等表示法，值一样，但小数点位置不一样。在具体存储时，需要固定一种形式，这叫做尾数的标准化。

IEEE754 规定，在二进制数中，通过移位，将小数点前面的值固定为 1。IEEE754 称这种形式的浮点数为规范化浮点数。

因为IEEE754规定第 1 位永远为 1，因此可以省略不存。

对于float型浮点数，尾数部分23位，换算成十进制就是2^23=8388608，所以十进制精度最多7位。

4、实例讲解

讲解之前先熟悉一下进制转换：

二进制转十进制

和整数转换一样，采用各位数值和位权相乘。比如：

(0.101)₂ = 1×2⁻¹ + 0×2⁻² + 1×2⁻³ = (0.625)₁₀

记住小数点后第一位是从 -1 开始即可。

十进制转二进制

十进制整数转二进制采用“除 2 取余，逆序排列”法。例如十进制数 11 转为二进制：

11/2=5 … 余1

5/2=2 … 余1

2/2=1 … 余0

1/2=0 … 余1 （1除以2不够除，也就是商为0，余数为1-0=1）

所以 (11)₁₀ 的二进制是 (1011)₂

但如果十进制是小数，转为二进制小数如何做？

采用“乘 2 取整，顺序排列”。让小数一直乘2，小于1则用结果继续乘，大于1则用结果减1继续乘，等于1则结束。

例如十进制小数 0.625 转为二进制小数：

0.625*2=1.25 … 取整数部分1

0.25*2=0.5 … 取整数部分0

0.5*2=1 … 取整数部分1

顺序排列，所以 (0.625)₁₀ = (0.101)₂

如果一直不能等于1怎么办，会有什么影响？

暂且搁置不讲。

开始讲解实例：例如 178.125

1、分别把浮点数的整数部分和小数部分转换成2进制。

整数部分：

178/2=89 … 余0

89/2=44 … 余1

44/2=22 … 余0

22/2=11 … 余0

11/2=5 … 余1

5/2=2 … 余1

2/2=1 … 余0

1/2=0 … 余1

逆序排列,所以 (178)₁₀ 的二进制是 (10110010)₂

小数部分:

0.125*2=0.25 … 取整数部分0

0.25*2=0.5 … 取整数部分0

0.5*2=1 … 取整数部分1

顺序排列，所以 (0.125)₁₀ = (0.001)₂

合起来即是：10110010.001

2、转换成计算机存储形式的二进制浮点数

把小数点移动到整数位只有1，即为：1.0110010001*2^111，111是二进制，换算成十进制为7，由于左移了7位，所以是111。

3、阶码（指数）

阶码（指数）的计算公式：阶数（指数）+偏移量（单精度浮点数指数偏移值是127）

即：111+01111111=10000110 （7+127=134）

4、尾数

小数点后面的数，即0110010001

小数点前面的1去哪里了？由于尾数部分是规格化表示的，最高位总是1，所以省略不存。这样尾数部分多了 1 位，提高了精度。

5、符号位

由于浮点数是正数，故为0（负数为1）

6、结果

最终结果为：

(178.125)₁₀ = (01000011001100100010000000000000)₂

单精度浮点数为32位，不够32位后面补0。

0为什么补在后面？

因为是尾数部分，补在后面比补在前面对实际数值影响比较小。

(178.125)₁₀ = (01000011001100100010000000000000)₂

2进制转换16进制如下：

0100 4

0011 3

0011 3

0010 2

0010 2

0000 0

0000 0

0000 0

16进制为43322000

参考了网络上有关浮点数转换的文章，加上个人的理解，整理成文！

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