最深奥的数学研究的全部结果，最终都一定可以表示成整数性质的简单形式。——利奥波德·克罗内克

能够恰如其分地被称为企业家的专业数学家是极其罕见的，利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）无疑算是一个，他在30岁时已经财富自由，从而可以把自己非凡的天赋献给数学。

1823年12月7日，克罗内克出生于普鲁士的利格尼茨。克罗内克从小就表现出良好的交际能力，并且能和对他有帮助的人结下深厚友谊，这是他能成为一个成功的企业家的关键因素，也是他最可贵的财富。

在学校，克罗内克所有的学科都很优秀，他对希腊和拉丁古典文学很感兴趣，并且在希伯来语、哲学和数学方面也很出色。他的数学才能很早就在库默尔的指导下显露出来。库默尔是德国历史上最有独创性的数学家之一。尽管克罗内克具有非凡的数学才能，但他并没有花很多精力在数学上。他还选修了音乐课，而且成了一名有造诣的钢琴家和歌唱家。他声称，音乐是所有艺术中最好的艺术。

克罗内克在1841年春进了柏林大学，继续他的多方面的教育，但专注于数学。那时柏林大学的数学系有狄利克雷、雅可比和施泰纳等数学大师。爱森斯坦也在柏林大学，他和克罗内克同岁，两人成了朋友。狄利克雷对克罗内克的分析学及数论产生很大影响。雅可比使他爱上了椭圆函数，他以惊人的独创性发展了这一领域（主要是把椭圆函数应用在数论上）。克罗内克在大学深入地研究哲学，特别是黑格尔体系。有些人可能会从黑格尔的辩证法中寻找克罗内克的数学起源。

1845年，克罗内克递交了他的博士论文，这篇论文受到库默尔在数论方面工作的启发，论述某些代数数域中的单位元素。要表示出单位元素是极其困难的，但是我们可以从下面对单位元素的一般问题的大致描述中，理解这个问题的性质。

普通整数（1,2,3）称为（正）有理整数。如果m是任何有理整数，它就是一个一次代数方程的根，这个方程的系数是有理整数，即x-m=0。这启发我们利用代数方程来推广整数的概念，如果r是方程

的一个根，其中每个a都是非零有理整数，并且r不是低于n次方程的根，那么r就称为n次的代数整数。例如，

是一个2次代数整数，因为它是x^2-2x＋6=0的根，并且不是任何有指定类型系数的、低于2次的方程的根。可能有人会说，

但1+√-5不是有理整数。

如果首项系数是任何有理整数（零除外），那么该方程的根就称为n次代数数。这样，

就是一个2次的代数数，但不是一个代数整数；它是2x^2-2x＋3=0的根。

现在要介绍另一个概念，即n次代数数域的概念∶

如果r是一个n次代数数，那么一切能从r经过反复加、减、乘、除构造出来的全部表达式，称作由r生成的代数数域，可以用F[r]表示。这个F[r]的次数是n。

可以证明，F[r]的每个数都具有以下形式：

其中c都是有理数，并且F[r]的每一个数还是一个次数不大于n的代数数。F[r]中的一些（但不是全体）代数数是代数整数。

代数数理论的中心问题，是研究在n次代数数域中代数整数的算术可除性规律。什么是“算术可除性”？

我们知道，一个有理整数m可以用另一个有理整数d除，如果我们能找到一个有理整数q，使得m=q×d；d和q就称作m的一个因子。例如6是12的因子，因为12=2×6；5不是12的因子，因为不存在一个有理整数q使12=q×5。

一个有理素数是一个大于1的有理整数，它仅有的正因子是1和该整数本身。当我们试着把这个定义推广到代数整数时，我们必须找到有理素数的某个性质，使之能够转移到代数整数上去。这个性质如下∶如果一个有理素数p整除两个有理整数的乘积a×b，那么可以证明，p至少整除该乘积的因子（a，b）中的一个。

考虑有理算术的单位元素1，我们注意到1有一个特殊的性质，即它整除每一个有理整数；-1也有同样的性质，1和-1是唯一有这个性质的有理整数。

因此，我们规定下面的定义，作为代数整数的算术可除性理论的基础。我们假定所考虑的一切整数都在一个n次代数数域中。

如果r，s，t是代数整数，使得r=s×t，那么s，t都称为r的一个因子。

如果j是一个代数整数，它整除这个数域中的每一个代数整数，j就称为（该域中的）一个单位元素。一个已知的域可以包含无限多个单位元素，这与有理数域中只有一对单位元素1，-1不同，而这就是产生困难的原因之一。

下面要介绍有理整数与次数大于1的代数整数之间的一个基本的区别。

一个不同于单位元素的代数整数，若其仅有的因子是单位元素和该整数本身，则称其为不可约的。一个具有下列性质的不可约的代数整数称为素代数整数∶如果它整除两个代数整数之积，那么它至少整除这两个因子之一。所有素数都是不可约的，但是在某些代数数域中，并不是所有不可约的数都是素数。在普通算术中，不可约数和素数是一样的。

算术的基本定理是∶一个有理整数是素数以唯一的方式相乘的乘积。从这个定理中产生了有理整数可除性的全部理论。但这个基本定理并不对一切次数大于1 的代数数域成立。

举一个例子，在域F[√-5]中，我们有

2，3，1＋√-5，1-√-5在这个域中都是素数，因此在这个域中，6不是唯一地分解成素数的乘积。

克罗内克用一个巧妙的方法克服了这个困难，但是这个方法太复杂，无法通俗地解释。

克罗内克在他1845年的论文中，着手解决某些特殊的域中的单位元素理论，这些域是从高斯问题中产生的，高斯问题是将一个圆周分成n等分。在试图证明费马大定理的努力中，数论家们采取了貌似自然的一步，把左边的x^n+y^n分解成n个一次的因子，这导致了对代数数域的详尽研究。

柯西也在研究这个问题，但他设想在所论及的代数数域中算术基本定理一定成立，认为这是理所当然的事。但事实是，有关域中的那些“整数”，它们不遵循算术基本定理；那怎样使它们遵循呢？

为了解决这个问题，库默尔和戴德金先后提出和发展了“理想数”的概念。理想数与非欧几何的创造并列为19 世纪最突出科学成就之一，并且在有史以来的重大数学成就中占有很高的地位。一开始，“理想数”不是为一切代数数域构造的，而是只为从圆的分割中产生的那些域构造的。

库默尔也曾和柯西一样，认为一些代数数域中的正数也遵循算术基本定理。因此，他一度认为他证明了费马的大定理。库默尔的这次失败是在数学的一大幸事。犹如阿贝尔在一般五次方程问题上一开始犯的错误一样，库默尔的错误使他转向了正确的道路，从而发明了他的“理想数”。

库默尔、克罗内克和戴德金在创立代数数的现代理论中，无限扩大算术的领域，以及把代数方程纳入数的范围之内，他们对高等算术和代数方程理论所做的事情，相当于高斯、罗巴切夫斯基、鲍耶和黎曼对几何所做的事（极大扩展了欧式几何）。正如非欧几何的发明者们为几何和物理科学揭示了广阔的、从未想到过的视野一样，代数数理论的创造者们揭示了全新的观点，照亮了整个算术，使方程理论、代数曲线和曲面的系统理论，以及数本身的真正性质，在一些极其简单的公设的背景上变得极为明显。

“理想”的创造（戴德金从库默尔的“理想数”中得到的灵感）不仅革新了算术，而且也革新了从代数方程和代数方程组理论中产生的全部代数。

克罗内克在1845年22岁时，以著名的论文《论复单位元素》进入了代数数这个极其困难的领域。他讨论的那些特殊的单位元素，是高斯n等分圆周的问题所产生的代数数域中的单位元素。由于这项工作，他获得了博士学位。克罗内克事业的顶点是他对魏尔斯特拉斯的长期的数学论战，在这场论战中，双方既没有给予宽恕，也没有要求宽恕。一方是天生的代数学家，另一方一心追求的是分析。

克罗内克有一个从事银行业务的舅父。他的舅父还掌管着很大的农业企业。舅父死后，这一切都由年轻的克罗内克经手管理。1845年到1853年，克罗内克都在经营地产和商业上，他做得十分出色，赚取了很多的财富。为了有效地管理地产，他甚至精通了农业。

克罗内克在经商的8年期间，没有做出任何数学成果，但是他在1853 年发表的一篇关于方程的代数解的重要论文，表明他没有在数学上停不前。从商期间，克罗内克一直与以前的老师库默尔保持通信，他在1853年从业务中摆脱出来以后，访问了巴黎，在那里结交了埃尔米特和其他一流的法国数学家。

1853年，当克罗内克发表关于方程的代数可解性的论文时，只有很少几个人懂得伽罗瓦的方程理论。克罗内克已经掌握了伽罗瓦理论，事实上，他也许是当时唯一深入洞察了伽罗瓦思想的数学家。在克罗内克关于伽罗瓦理论的著作出版以后，这一学科从只为几个人私有，变成了全体代数学家的公共财富。

1858年，克罗内克发表了他著名的《关于一般五次方程的解》（埃尔米特同年利用椭圆（模）函数给了第一个解）。克罗内克通过把伽罗瓦的思想用于这个问题，得出了埃尔米特的解。在1861年的一篇文章中，克罗内克论证了“寻找一般五次方程为什么可以用所用的方法求解”，这样就迈出了超过阿贝尔的一步，阿贝尔解决了"用根式"的可解性问题。

克罗内克用他特有的方式，把他最感兴趣的三个部分——数论、方程论和椭圆函数——编织成一个美丽的模式，在这个模式中，意料不到的对称性被揭示了出来。克罗内克不满足于把这个神秘的统一仅仅作为一种神秘的东西接受下来，他寻找并在高斯的双二次型理论中找到了它的基本结构，高斯理论中的主要问题是研究两个未知量的二次不定方程的整数解。

克罗内克1891年12月29日因患支气管炎去世，终年69岁。