数列递推公式

我们都知道，

数列的给出有三种方式，

穷举、通项和递推。

做多了数列就感觉，

穷举法，

单纯的是不是一个笑话？

见过一项一项给出项来的么！

通项公式

给出又太直接了，

给了通项，

总感觉对你的考验，

缺少了点挑战……

所以，

数列的递推公式，

成了每个学数列的孩子，

怎么也绕不过的坎。

其实，

递推公式，

我们说得实在太多了，

连高观点下的，

“不动点”和“特征根”，

也都早早被我们拿下。

那数列递推，

还能剩下啥？

想了想，

便也只有周期了

……

周期数列

对于一个数列{an},

如果存在一个常数T，

对于任意正整数n>N，

恒有an+T=an,

则称数列{an}是从第n项起的周期数列。

T的最小正值为最小正周期，

一般就简称周期了。

①若N=1,称{an}为纯周期数列；

②若N>2,称{an}为混周期数列。

01

和等差数列相对应的，

就是最常见的，

等和型递推式了，

这也是较为常见的，

摆动数列的递推式。

只是连续k项之和为定值，

其实可能很多的同学，

并不会想得太多。

上述结论看起来可能不太舒服的，

但其实，

意思还是挺清晰。

简单可以这样说：

若一个数列任意连续k项之和为定值，

则该数列为周期数列，

且周期T=k.

02

与等比数列相对应的，

当然就是等积型了。

也是一个挺好的周期性质，

只是别忘了，

和等差一样，

那个连续多项之积的结论：

若一个数列任意连续k项之积为定值，

则该数列为周期数列，

且周期T=k.

其实，

类似等比的，

还有一个非常好看的结论：

这个结论，

是不是与“等比中项”

有些相似了呢。

03

其实这种，

将等和与等差相联系的式子，

在平时还是挺常见的，

就像是下面的这个题：

这里直接得到的周期，

可能让很多孩子迷惑不解。

那么有现在这个清楚的结论，

一切又都信手拈来。

所以如果有可能，

希望你也能好好记住，

上面的这组结论：

如果一个数列连续k项之积与这连续k项之和的比值为定值，则数列必为周期数列，

且周期T=k.

有了这样清晰的思路，

一切都是水到渠成，

瞬间秒解。

04

其实，

看到这个递推式，

很自然地就想起了，

an=an-1+an-2,

斐波那契数列，

这个与黄金分割，

无限接近、

近乎完美生活化的数列递推。

斐波那契数列

我没有像很多人一样，

无聊地绞尽脑汁，

想方设法地求着它的通项公式，

而是更加注重，

中学数学里，

它应用的样子。

就像是那个，

多年来一直萦绕在脑海里，

那个看似无聊“走台阶”的好题。

但是现在，

不想告诉你[呲牙]。

05

其实很多人可能会都记得，

这种分式递推最高端的，

特征根。

确实的，

我也是一直钟情，

高观点下的那些数学思维。

只是现在想强调的，

如果遇到特征方程无解，

就要考虑周期的特征。

就像下面这个思路，

如果没有周期的感觉隐隐地在心里，

这种思路的推导，

哪里还会那么有底气？

上面列举了13种周期，

应该都是中学数列中比较常见的。

也因为有了周期，

“素人素言”的数列专题，

就做得很完善了。

而且我也相信，

当求通项已弄得人尽皆知，

数列的周期，

将会在高考试卷中悄然兴起。

所以很希望，

学习过数列的孩子，

如果有缘，

翻到“素人素言”，

就认真学习素言的经典。