二、应力边界条件和平衡方程

1.平衡方程。

单元体负向面（背面）的应力情况

单元体正向面（正面）的应力情况

将正向面的应力分量用泰勒级数展开后得到：

同理：

忽略高阶小项。再考虑单位体积内的体积力分量：Fx，Fy，Fz。列出单元体在上述力下的平衡方程。

在x方向上力的平衡。（将应力分量σx（x，y，z）略写为σx，其他应力分量同理。）

化简得：

同理可得y方向和z方向的平衡方程，综合可得单元体力的平衡方程：

再考虑绕三根坐标轴的力矩平衡得：

也就是切应力互等定理。

值得注意得是：

（1）上述平衡方程的推导未涉及材料的力学性质，只要弹性体满足基本假设条件，不管是各向异性或非线弹性材料，平衡方程都成立。

（2）由于未知应力有6个，由平衡方程是不能求出应力分量的，任何弹性力学问题都是超静定问题。

（3）如果弹性体存在加速度，则根据达朗贝尔原理，单元体存在惯性力。

加速度可由下式计算：

其中：u、v、w分别为单元体沿x、y、z轴的位移。

则惯性力的计算公式为：

即可得到运动平衡方程，用于求解弹性动力学问题。

2.弹性体的边界。

弹性体存在两类边界：

（1）给定应力的边界称为应力边界Sσ。

（2）给定位移的边界称为位移边界Su。

弹性体的应力解在应力边界应等于给定的应力；位移解在位移边界应等于给定的位移。

弹性体边界示意图

首先学习应力边界条件。由于弹性体的边界不一定很规则，在边界处微小的单元体不一定能划分为六面体，只能划分为具有斜面的四面体。当斜面承受荷载时，应力边界条件求解问题就转化成求解四面体的平衡问题。如下图：

假设斜面的法向单位向量n为：

四面体的体积力为Fx，斜面所受外力为分布力p，在x、y、z轴的分量分别为：

则利用分析六面体平衡方程同样的思路，并将高阶小量省略，可得四面体的平衡方程为：

这就是应力边界条件的公式，同时也是斜截面的应力公式。可用矩阵形式表示：

在斜面上也可以将力沿法向和切向划分分量，分别称为斜面的正应力和切应力。计算公式如下：

斜面上的正应力：

斜面上的切应力：