在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入:

[

[1,3,1],

[1,5,1],

[4,2,1]

]

输出: 12

解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

解题思路：

到达每个格子，只有两条路： 右 或 下。

设f[i][j] 是第i行，第j列格子礼物的价值, gift[i][j]是到达第i行，第j列格子礼物的最大价值。

则得到如下关系：

gift[i][j] = max(gift[i-1][j] , gift[i][j-1] ) + f[i][j]

图中，gift[1][1] = max(gift[0][1], gift[1][0]) + f[1][1] = max(2,4) + 5 = 9

建立方程：

当i = 0, j = 0 时， gift[i][j] = f[i][j]

当i = 0, j != 0 时， gift[i][j] = gift[i][j-1] + f[i][j]

当i != 0, j = 0 时， gift[i][j] = gift[i-1][j] + f[i][j]

当i != 0, j != 0 时， gift[i][j] = gift[i-1][j-1] + f[i][j]

int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {

//第0列

for (int i = 1; i < grid.size(); i++)

{

grid[i][0] = grid[i - 1][0] + grid[i][0];

}

//第0行

for (int j = 1; j < grid[0].size(); j++)

{

grid[0][j] = grid[0][j - 1] + grid[0][j];

}

//i != 0, && j != 0

for (int i = 1; i < grid.size(); i++)

{

for (int j = 1; j < grid[i].size(); j++)

{

grid[i][j] = std::max(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]) + grid[i][j];

}

}

return grid[grid.size() - 1][grid[0].size() - 1];

}

复杂度分析：

时间复杂度 O(MN) ： M,N 分别为矩阵行高、列宽；

遍历整个 grid 矩阵，使用 O(MN)O(MN) 时间。

空间复杂度 O(1) ： 原地修改使用常数大小的额外空间。

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