古文明是现代科学的启蒙，是理性思维的源泉，而天文学与几何学是古希腊文明的主导与核心，球面和圆锥截线的认识是古文明中几何学的至高点反比例函数的图象称为双曲线，用折纸或截面的操作方法可得到双曲线。如图，准备一张圆形纸片，并在圆外取一点F，然后折叠纸片，使F点落在大圆的圆周上，这样不断地折下去，这一系列折痕就构成了双曲线的一个分支。

双曲线前生今世

如图，用平面去截一个双头圆锥，圆锥和平面相交所得的曲线有圆、椭圆、抛物线、双曲线。椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线，公元前200多年，古希腊人阿波罗尼斯就发现了这一现象。

双曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形。正则圆，歪则椭，点点繁星，皎皎星光，发人深思，令人神游，而太阳系永恒之舞的基本节奏与舞步却是圆锥曲线。

公元1896年，挪威生理学家古德贝尔对闭眼打转的问题进行了深入的研究。他收集了大量事例后分析说：这一切都是由于人自身两条腿在作怪！长年累月养成的习惯，使每个人一只脚伸出的步子，要比另一只脚伸出的步子长一段微不足道的距离。而正是这一段很小的步差x，导致了这个人走出一个半径为y的大圈子！

现在我们来研究一下x与y之间的函数关系：

假定某个两脚踏线间相隔为d。很明显，当人在打圈子时，两只脚实际上走出了两个半径相差为d的同心圆。设该人平均步长为l。那么，一方而这个人外脚比内脚多走路程2π（y+ｄ／２）-2π（y-ｄ／２）=2πd：另一方面，这段路程又等于这个人走一圈的步数与步差的乘积，即：2πd=（2πy／２ｙ）x，化简得y=2dｌ／ｘ。

对一般的人，d＝0．1米，1=0。7米，代入得（单位米）y=０．14／ｙ，这就是所求的迷路人打圈子的半径公式。今设迷路人两脚差为0。1毫米，仅此微小的差异，就足以使他在大约三公里的范围内绕圈子！

上述公式中变量x，y之间的关系，在数学上称为反比例函数关系。所谓反比例函数，就是形如y=k/x（k为常量）这样的函数。它的图象是两条弯曲的曲线，数学上称为等边双x曲线，在工业、国防、科技等领域都很有用场。

探寻精巧结论

一、有关面积关系：

1.反比例函数图像上任取一点A，然后过A点分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为为B、C，则矩形ABOC的面积始终等于k的绝对值。

2.反比例函数图像上任取一点A，然后过A点向x轴作垂线，垂足为为B，则三角形ABO的面积始终等于k的绝对值的一半。

3.反比例函数图像上任取两点A，D，如图，然后分别过A，D两点分别向x轴y轴作垂线，垂足分别为B、C和E、F，设AB与DF交于点M，则在A、D运动过程中，矩形AMFC和矩形BMDE的面积始终相等。

4.反比例函数图像上任取两点A，C，如图，然后分别过A，C两点向x轴作垂线，垂足分别为B、D，设AO与CD交于点M，则在A、C运动过程中，三角形OCM和梯形ABDM的面积始终相等。

5.反比例函数图像上任取两点A，C，如图，然后分别过A，C两点向x轴作垂线，垂足分别为B、D，则在A、C运动过程中，三角形OCA和梯形ABDC的面积始终相等。

6.矩形ABOC的边OC、OB分别在x轴y轴上，如图，AB边与反比例函数图像交于点D，AC边与反比例函数图像交于点E，连接OA、OD、OE，则三角形OAD和三角形OAE的面积相等。

二、有关平行关系：

1.矩形ABCO的边OC、OA分别在x轴y轴上，如图，AB边与反比例函数图像交于点D，BC边与反比例函数图像交于点E，连接AC、DE，则DE∥AC。

2.反比例函数图象上任取两点A、B向坐标轴作垂线，然后连接垂足C、D或者E、F，则AB∥CD，AB∥EF.

三、有关线段关系：

1.反比例函数图象与正比例函数的图象交于A、B两点，则OA=OB.

2.反比例函数图象若与一次函数的图象交于A、B两点，与坐标轴交于点C、D，则AD=BC，AC=BD.

3.反比例函数图象与正比例函数的图象交于A、B两点，过点A作y轴垂线，垂足为C，连接BC并延长交反比例函数的图象于点D，连接AD，则DA=DC.

4.反比例函数图象上任取一点A，过点A作y轴垂线，垂足为C，作AC的垂直平分线与反比例函数的图象于点B，与x轴交于点D,连接AD、DC、CB、BA，则AD=DC=CB=BA（即四边形ABCD是菱形）.

5.矩形ABCO的边OC、OA分别在x轴y轴上，如图，AB边与反比例函数图像交于点D，BC边与反比例函数图像交于点E，则AD:DB=CE:EB.

6.反比例函数图像上任取两点A、D两点，分别过A点和D点作x轴和y轴的垂线，垂足分别为B和F，AB和FD交于点M，则FM:MD=BM:MA.

四、有关角的关系：

1.点A和点B是反比例函数图像两点，C点是x轴上一点，D点是y轴上一点，四边形ABCD是平行四边形，如图，则∠1=∠2，∠3=∠4.

2.点A和点B是反比例函数图像两点，C点是x轴上一点，D点是y轴上一点，四边形ABCD是平行四边形，延长AD交x轴于点E，延长BC交y轴于点F，连接EF，如图，则∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，∠7=∠8，四边形DCFE为菱形。

3.点A和点B是反比例函数图像两点，直线AB与x轴交于点F，与y轴交于点E，连接AO并延长交反比例函数图象的另一支曲线于点C，连接BC交y轴于点D，交x轴于G，则∠1=∠2，∠3=∠4，BD=BE，BF=BG。

挑战经典问题

例1.如图，点A是坐标原点，点D是反比例函数y＝6/x（x＞0）图象上一点，点B在x轴上，AD＝BD，四边形ABCD是平行四边形，BC交反比例函数y＝6/x（x＞0）图象于点E．

（1）▱ABCD的面积等于　　，

（2）设D点横坐标为m，

①使用m表示点C的坐标；

②使用m表示点E的坐标．（要有推理和计算过程）

（3）求CE：EB的值．

（4）求EB的最小值．

【解析】：（1）如图，作DH⊥AB于H，设D（m，n）．

∵DA＝DB，DH⊥AB，∴AH＝BH＝m，

∵点D在y＝6/x上，∴mn＝6，

∴S平行四边形ABCD＝AB•DH＝2mn＝12．

故答案为12．

（2）①由题意D（m，6/m），

由（1）可知AB＝2m，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD＝AB＝2m，

∴C（3m，6/m）．

在同一直角坐标系中的两条不同的双曲线，我们称为"复式双曲线"，如图，已知反比例面数y=k₁/x和y=k₂/x，其中k₁>k₂>0，在第一象限内的图象依次为曲线C₁，C₂，类比可提出若干猜想。

台式钢琴的弦与风琴的管，它们的外形轮廊是指数曲线。

反思与总结

解题是一个不断提出相关问题的过程：由原问题出发，提出它的各种等价问题、特殊化问题、简化问题、部分问题、必要条件等。

笛卡尔把他的想象拓展到音乐中，写过论文《音乐简编》、《音乐概要》，成为一个训练有素的音乐家，自觉地把音乐和坐标系结合在一起，坐标系在音乐中沉醉，音乐在坐标系中歌唱。笛卡尔《音乐概要》。

欧几里得的《几何原本》曾提到尺规作图，所谓尺规作图就是用无刻度的直尺和圆规，通过有限次的使用，画出符合要求的图形，古希腊人曾提出三个著名的作图难题：三等分角问题、倍立方问题、化园为方问题这三个叙述简洁、看似简单的作图问题，两千多年来激励着一代代数学家思考探索，最后被证明这三个问题不能由尺规作图来解决。

音乐是净化灵魏的工具。数学能把人类的思维活动升华到纯净和谐的境界。从开普勒和天体的"音乐"到爱因斯坦和他的小提琴，音乐和数学似乎有很密切的联系《心灵的标符》试图告诉人们什么是数学、什么是音乐，并揭示两者之间深层的相似。