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聚类分析是一种无监督学习法，它将数据点分离成若干个特定的群或组，使得在某种意义上同一组中的数据点具有相似的性质，不同组中的数据点具有不同的性质。

聚类分析包括基于不同距离度量的多种不同方法。例如。K均值（点之间的距离）、Affinity propagation（图之间的距离）、均值漂移（点之间的距离）、DBSCAN（最近点之间的距离）、高斯混合（到中心的马氏距离）、谱聚类（图之间距离）等。

2014年，DBSCAN算法在领先的数据挖掘会议ACM SIGKDD上获得the testof time奖（授予在理论和实践中受到广泛关注的算法）。

所有聚类法都使用相同的方法，即首先计算相似度，然后使用相似度将数据点聚类为组或群。本文将重点介绍具有噪声的基于密度的聚类方法（DBSCAN）。

既然已经有了K均值聚类，为什么还需要DBSCAN这样的基于密度的聚类算法呢？

K均值聚类可以将松散相关的观测聚类在一起。每一个观测最终都成为某个聚类的一部分，即使这些观测在向量空间中分散得很远。由于聚类依赖于聚类元素的均值，因此每个数据点在形成聚类中都起着作用。

数据点的轻微变化可能会影响聚类结果。由于聚类的形成方式，这个问题在DBSCAN中大大减少。这通常不是什么大问题，除非遇到一些具有古怪形状的数据。

使用K均值的另一个困难是需要指定聚类的数量（“k”）以便使用。很多时候不会预先知道什么是合理的k值。

DBSCAN的优点在于，不必指定使用它的聚类数量。需要的只是一个计算值之间距离的函数，以及一些将某些距离界定为“接近”的指令。在各种不同的分布中，DBSCAN也比K均值产生更合理的结果。下图说明了这一事实:

基于密度的聚类算法

基于密度的聚类是无监督学习法，基于数据空间中的聚类是高点密度的连续区域，通过低点密度的连续区域与其他此类聚类分离，来识别数据中独特的组/聚类。

具有噪声的基于密度的聚类方法(DBSCAN)是基于密度聚类的一种基本算法。它可以从大量的数据中发现不同形状和大小的聚类，这些聚类中正包含着噪声和异常值。

DBSCAN算法使用以下两种参数：

· eps (ε)：一种距离度量，用于定位任何点的邻域内的点。

· minPts：聚类在一起的点的最小数目（一个阈值），使一个区域界定为密集。

如果探究两个称为密度可达性（DensityReachability）和密度连接性（DensityConnectivity）的概念，就可以理解这些参数。

密度方面的可达性（Reachability）建立了一个可以到达另一个点的点，如果该点位于与另一个点的特定距离（eps）内。

连接性（Connectivity）涉及到基于传递性的链接方法，以确定点是否位于特定的聚类中。例如，如果p->r->s->t->q，则p和q可以连接，其中a->b表示b在a的邻域内。

DBSCAN聚类完成后会产生三种类型的点：

· 核心点（Core）——该点表示至少有m个点在距离n的范围内。

· 边界点（Border） ——该点表示在距离n处至少有一个核心。

· 噪声点（Noise） ——它既不是核心点也不是边界点。并且它在距离自身n的范围内有不到m个点。

DBSCAN聚类算法步骤

1. 算法通过任意选取数据集中的一个点（直到所有的点都访问到）来运行。

2. 如果在该点的“ε”半径范围内至少存在“minPoint”点，那么认为所有这些点都属于同一个聚类。

3. 通过递归地重复对每个相邻点的邻域计算来扩展聚类

参数估计

每个数据挖掘任务都存在参数问题。每个参数都以特定的方式影响算法。DBSCAN需要参数ε和minPts。

· ε: 可以使用k距离图来选择ε的值，表示到k=minPts-1最近邻的距离，从最大值到最小值排序。当此图显示“elbow”时，ε值较好：如果ε选择得太小，则很大一部分数据将无法聚类；如果ε值太高，聚类将合并，同时大多数对象将位于同一聚类中。一般来说，较小的ε值是可取的，根据经验，只有一小部分点应在此距离内。

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· 距离函数：距离函数的选择与ε的选择密切相关，对结果有重要影响。通常，在选择参数ε之前，必须首先确定数据集的合理相似性度量。没有对此参数的估计，但需要为数据集适当地选择距离函数。

· minPts: 根据经验，最小minPts可以从数据集中的维度数D导出，即minPts≥D+1。低值minPts=1是没有意义的，因为此时每个点本身就已经是一个聚类了。当minPts≤2时，结果将与采用单链路度量的层次聚类相同，且树状图在高度ε处切割。因此，必须至少选择3个minPts。

然而，对于有噪声的数据集，较大的值通常更好，并将产生更显著的聚类。根据经验，可以使用minPts=2·dim，但对于非常大的数据、噪声数据或包含许多重复项的数据，可能需要选择更大的值。

用sklearn实现DBSCAN python

首先用DBSCAN对球形数据进行聚类。

先生成750个带有相应标签的球形训练数据点。然后对训练数据的特征进行标准化，最后应用sklearn库中的DBSCAN。

import numpy as np           from sklearn.clusterimportDBSCAN           from sklearn import metrics           fromsklearn.datasets import make_blobs           fromsklearn.preprocessing importStandardScaler           # Generatesample data           centers= [[1, 1], [-1, -1], [1, -1]]           X, labels_true =make_blobs(n_samples=750, centers=centers,cluster_std=0.4,                                       random_state=0)           X=StandardScaler().fit_transform(X)           # Compute DBSCAN           db=DBSCAN(eps=0.3, min_samples=10).fit(X)           core_samples_mask= np.zeros_like(db.labels_,dtype=bool)           core_samples_mask[db.core_sample_indices_]=True           labels= db.labels_           # Number ofclusters in labels, ignoring noise if present.           n_clusters_=len(set(labels)) - (1if-1in labels else0)           n_noise_=list(labels).count(-1)           print('Estimatednumber of clusters: %d'% n_clusters_)           print('Estimated numberof noise points: %d'% n_noise_)           print("Homogeneity:%0.3f"% metrics.homogeneity_score(labels_true,labels))           print("Completeness:%0.3f"% metrics.completeness_score(labels_true,labels))           print("V-measure:%0.3f"% metrics.v_measure_score(labels_true,labels))           print("AdjustedRand Index: %0.3f"                 % metrics.adjusted_rand_score(labels_true,labels))           print("AdjustedMutual Information: %0.3f"                 % metrics.adjusted_mutual_info_score(labels_true,labels))           print("SilhouetteCoefficient: %0.3f"                 % metrics.silhouette_score(X, labels))           # Plot result           importmatplotlib.pyplot as plt           %matplotlibinline           # Black removedand is used for noise instead.           unique_labels=set(labels)           colors= [plt.cm.Spectral(each)                     for each in np.linspace(0, 1, len(unique_labels))]           for k, col inzip(unique_labels,colors):               if k ==-1:                   # Black used for noise.                   col = [0, 0, 0, 1]               class_member_mask = (labels == k)               xy =X[class_member_mask &core_samples_mask]               plt.plot(xy[:, 0], xy[:, 1], 'o', markerfacecolor=tuple(col),                        markeredgecolor='k', markersize=14)               xy =X[class_member_mask &~core_samples_mask]               plt.plot(xy[:, 0], xy[:, 1], 'o', markerfacecolor=tuple(col),                        markeredgecolor='k', markersize=6)           plt.title('Estimatednumber of clusters: %d'% n_clusters_)           plt.show()

聚类球形数据中的DBSCAN

黑色数据点表示上述结果中的异常值。接下来，用DBSCAN对非球形数据进行聚类。

import numpy as np           importmatplotlib.pyplot as plt           from sklearn import metrics           fromsklearn.datasets import make_circles           fromsklearn.preprocessing importStandardScaler           from sklearn.clusterimportDBSCAN           X, y =make_circles(n_samples=750, factor=0.3, noise=0.1)           X=StandardScaler().fit_transform(X)           y_pred=DBSCAN(eps=0.3, min_samples=10).fit_predict(X)           plt.scatter(X[:,0], X[:,1], c=y_pred)           print('Number ofclusters: {}'.format(len(set(y_pred[np.where(y_pred !=-1)]))))           print('Homogeneity:{}'.format(metrics.homogeneity_score(y, y_pred)))           print('Completeness:{}'.format(metrics.completeness_score(y, y_pred)))           print("V-measure:%0.3f"% metrics.v_measure_score(labels_true,labels))           print("Adjusted RandIndex: %0.3f"                 % metrics.adjusted_rand_score(labels_true,labels))           print("AdjustedMutual Information: %0.3f"                 % metrics.adjusted_mutual_info_score(labels_true,labels))           print("SilhouetteCoefficient: %0.3f"                 % metrics.silhouette_score(X, labels))

聚类非球形数据中的DBSCAN

这绝对是完美的。如果与K均值进行比较，会给出一个完全不正确的输出，如：

K-均值聚类结果

DBSCAN聚类算法的复杂性

· 平均情况：与最佳/最坏情况相同，取决于数据和算法的实现。

· 最佳情况：如果使用索引系统来存储数据集，使得邻域查询在对数时间内执行，可得到O（nlogn）的平均运行时复杂度。

· 最坏情况：如果不使用索引结构或对退化数据（例如，所有距离小于ε的点），最坏情况下的运行时间复杂度仍为O(n²)。

基于密度的聚类算法可以学习任意形状的聚类，而水平集树算法可以在密度差异很大的数据集中学习聚类。

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但需要指出的是，这些算法与参数聚类算法（如K均值）相比，调整起来有些困难。与K均值的聚类参数相比，DBSCAN或水平集树的epsilon参数在推理时不那么直观，因此为这些算法选择较好的初始参数值更加困难。

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