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第13讲:高斯求和归纳总结及例题讲解(适用于3年级)

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前言:

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德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人,上学时,有一天老师出了一道题让同学们计算:

1+2+3+4+…+99+100=?

老师出完题后,全班同学都在埋头计算,小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢?原来小高斯通过细心观察发现:

1+100=2+99=3+98=…=49+52=50+51。

1~100正好可以分成这样的50对数,每对数的和都相等。于是,小高斯把这道题巧算为

(1+100)×100÷2=5050。

小高斯使用的这种求和方法,真是聪明极了,简单快捷,并且广泛地适用于"等差数列"的求和问题。

例1 1+2+3+…+1999=?

分析与解:这串加数1,2,3,…,1999是等差数列,首项是1,末项是1999,共有1999个数。由等差数列求和公式可得

原式=(1+1999)×1999÷2=1999000。

注意:利用等差数列求和公式之前,一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。

例2 11+12+13+…+31=?

分析与解:这串加数11,12,13,…,31是等差数列,首项是11,末项是31,共有31-11+1=21(项)。

原式=(11+31)×21÷2=441。

例3 3+7+11+…+99=?

分析与解:3,7,11,…,99是公差为4的等差数列,

项数=(99-3)÷4+1=25,

原式=(3+99)×25÷2=1275。

例4 求首项是25,公差是3的等差数列的前40项的和。

解:末项=25+3×(40-1)=142,

和=(25+142)×40÷2=3340。

利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式,可以解决各种与等差数列求和有关的问题。

例5 在下图中,每个最小的等边三角形的面积是12厘米2,边长是1根火柴棍。问:(1)最大三角形的面积是多少平方厘米?(2)整个图形由多少根火柴棍摆成?

分析:最大三角形共有8层,从上往下摆时,每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表:

由上表看出,各层的小三角形数成等差数列,各层的火柴数也成等差数列。

解:(1)最大三角形面积为

(1+3+5+…+15)×12

=[(1+15)×8÷2]×12

=768(厘米2)。

(2)火柴棍的数目为

3+6+9+…+24

=(3+24)×8÷2=108(根)。

答:最大三角形的面积是768厘米2,整个图形由108根火柴摆成。

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