如何描述一个匀速向前运动的微观粒子？量子力学的物质波与经典力学的声波和光波有什么不同？波包的速度可以超越光速吗？

3月17日12时，《张朝阳的物理课》第130期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，首先为大家回顾了量子力学中一个静止的高斯波包如何自由演化，进一步得到匀速运动的高斯波包的数学形式。然后，张朝阳转向讨论波包的一般形式，从色散关系的角度分析了量子物质波和经典声波的不同，定义了波包传播的群速度和相速度，发现其中相速度是非物理的，在传播过程中会大于光速，而具有物理意义的群速度则一直满足光速最大原理。

对匀速向前传播粒子的描述

在最近的几节直播课上，张朝阳从解偏微分方程（Partial Differential Equation, PDE）的角度重新回顾量子力学，着手探讨量子系统如何随时间演化的问题。演化问题不同于以往探讨过的求解氢原子能级问题——后者通常被称为定态问题——在定态问题中，通常假设粒子处在某一个能量本征态，波函数随时间只有整体相位的改变。而在演化问题中，粒子的波函数通常由许多能量本征态叠加而成，一般又称这个粒子是以波包（Wave packet）的形式出现。张朝阳首先关注了自由粒子的演化问题，用传播子的方法给出了自由粒子薛定谔方程：

的一般解，然后讨论了一个束缚在一点的狄拉克δ粒子和一个用高斯波包描述的粒子随时间的演化。

上一节直播课中，张朝阳分析到，初始时刻在坐标空间（x空间）中的一个高斯分布：

对应到动量空间（k空间）中仍然是一个高斯分布：

此时，可以验证海森堡不确定性原理：

此后，随着时间推移，粒子在k空间中的分布会保持不变，但是在x空间中的分布会逐渐变得宽且平。同时，我们无法再让不确定性原理取得等号，而是逐渐变大：

值得注意的是，在x空间中，高斯分布向两边弥散的同时，中心点还是保持在原点没有改变，这一点和自由粒子处在静止的状态这一假定是一致的。

在这个基础上，张朝阳提问，那如果更进一步考虑一个在向前移动的粒子，也就是在t = 0时我们假设高斯波包本身具有一个向前的初始速度，那接下来它会如何演化？用以往研究波动方程的经验，我们可以猜测，这个随时间演化的波包会是：

吗？答案是否定的。令这个波包分别对时间求一阶偏导数和对空间求二阶偏导数：

将它们代回到自由粒子薛定谔方程中，容易验证方程两边并不相等，也就是说我们所猜测的波包并非薛定谔方程的一个解，自然它无法描述一个微观粒子的演化过程。更深刻的物理原因是，前几节课的计算告诉我们，在量子力学世界中一个自由的高斯波包总会随着时间逐渐弥散。单纯引入替换：

也许可以描述一个平移的过程，但并不能体现出波函数的弥散现象。

那么该如何描述一个向前传播的波包呢？让我们首先重新回顾自由粒子薛定谔方程一般解的形式：

注意在这里φ(k)是k空间上的任意分布，而不是局限于高斯分布。在这里，张朝阳试图探讨最一般的表达形式，它将比人为构造的模型更为真实，结论也更为可信。如果记：

波函数又可以写为：

张朝阳指出，事实上除了量子力学的物质波外，经典力学中的声波、光波也具有同样的数学形式。

不同的是，在经典力学中，声波和光波u(t,x)满足波动方程：

其中v刻画了波的传播速度。将一个单色波：

代入方程中，可以得到：

也即是：

可以看到，在这里时间频率ω和空间频率k之间是线性关系。同样，我们用传播子或者格林函数法，可以求得波动方程解的一般形式为：

由傅里叶变换的定义不难看出：

所以在经典力学中，一个初始时刻波形为f(x)的波包，在t > 0时的分布可以直接通过取替换：

来得到。更通俗地讲，它意味着经典的光波和声波在传播过程中，波的波形不会发生改变——它们只是在做简单的平移。这也就是我们能够清晰地听见在一段距离外的人的声音而不会失真、能够看到一段距离外的物体而不会模糊的原因。张朝阳调侃道，如果你在不同位置，能够听到不同声音，那这个世界就太奇怪了。

这两种情况的差异在哪里呢？张朝阳指出，在上面的推导中，关键的一步是利用了ω与k之间的线性关系，从而积分中指数项上的k可以提出到括号外：

此后括号内的项和积分的计算再无关系。物理量ω与k之间的关系如此重要，使得研究波动性质的学者给它起了个特别的称呼——色散关系（Dispersion relation）。注意到，在量子力学中，薛定谔方程给出的色散关系是一个二次关系：

也就解释了为何简单的替换在量子力学中不再是合理的。

幸运的是，在上一节课中，我们认识到在随时间演化的过程中，微观粒子在k空间上的分布是保持不变的。利用这一点，再回顾k空间的分布描述的是粒子动量（对应着速度）取某值对应的概率密度，提示我们可以考虑在k空间中的平移——而不是x空间中，即初始时刻令粒子取得：

此时粒子在动量空间的分布不再是相对于y轴对称的，而是会偏向k_0一侧。对应到x空间中，这样一个高斯分布对应的波函数为：

它描述的是一个边向前传播，边扩散的微观粒子。

（张朝阳推导匀速运动的高斯波包）

对波包运动的描述：相速度和群速度

现在让我们再一次忘掉高斯波包，考虑最一般的情况：

这里提到的“一般”在于k空间分布φ(k)可以是任意的；也在于它描述的可能是量子力学提出的物质波，也可能是经典力学关心的光波或者声波。张朝阳再次提醒，经典和量子的波包都具有相同的数学形式，区别只在不同理论得到的色散关系ω(k)并不一致。

再多引入一个合理的假设：波包的频谱或者是在k空间的分布仅局限在某个值k_0附近。当k稍微偏离k_0时φ(k)会迅速衰减为0，于是在计算积分时候，偏离太远的区域不再对最后的结果有贡献。这样，任意一个光滑的色散关系ω(k)在k = k_0附近都可以用泰勒展开来近似表达：

这里k_0是一个给定的常数，并且重新记变量k_1 = Δk。观察到，积分中的指数部分可以分解和重新组合为：

其中下标为0的部分和积分再无关系，可以提到积分号外。而下标为1的部分，可以提取k_1重新组合变量。于是：

和此前对经典波包的推导一样，积分部分将会得到一个x - ω't为变量的函数，即：

如果这里ψ描述一个经典的波包，它可以被这样解释：首先注意指数部分：

是一个向前传播的正弦波波包，它的速度是：

这个速度被称为相速度（Phase velocity），它描述的是波上某一点往前传播的速度。这个正弦波会有一个波幅上的修正f，所以注意这一点除了在往前行进，还会随之上下颠簸。但是这个修正并不是静止的，也是随时间传播的。我们可以研究这个修正因子的传播速度。在初始时刻取到波幅大小为c的任意一点，图像上，可以认为是作一条与x轴保持水平的横线，它将与表示波的曲线交于某一点。或者更为具体地，可以想象这样一个过程，我们做一条长杆，在上面穿进一个小球。开始传播后，随着波——比如它是湖面海面的波浪——向前传播，这个小球会被推动着，沿着杆往前行进。而波幅修正因子的传播速度，是波上以波幅大小标记的某一点随着时间偏移的速度，相对应的即小球前进的速度。如果记这一点或者小球的轨迹为x(t)，随着时间推移，对应的振幅或者说杆的位置会满足：

两边对时间t求全导数，应该有：

但同时，考虑到f是个多元函数，应该有：

得到点或者小球的前进速度：

将这个速度称之为群速度（Group velocity）。进一步，对形如函数f(x-ω‘t)的偏导满足关系：

于是又能得到：

如果ψ描述一个量子力学中的物质波，注意它只有概率密度：

才是有物理意义的。这里g是一个关于x-ω't的实函数，也是一个传播的幅度。同样的逻辑，我们可以得到它的群速度是：

代入薛定谔方程给出的色散关系：

能够计算出群速度为：

和粒子的经典运动速度恰好保持一致。而对应的相速度：

也就是对一个非相对论的自由的微观粒子，它的相速度恰好为群速度的一半。

（张朝阳推导波包的群速度和相速度）

波包的速度可以超光速吗？

如果对于一个相对论性的微观粒子，爱因斯坦给出质能关系：

这里m_0指粒子的静止质量，这个关系一般又被称为相对论性色散关系。如果在左边对p取微扰，右边对E取微扰，可以得到：

整理后即：

当微扰非常小时：

这里利用了德布罗意关系：

根据我们的定义，最右边的等式即是波包的群速度，于是得到：

进一步，注意到：

其中m指代“动质量”，v指代粒子运动速度，有：

而另一方面，粒子的相速度：

它将比光速更大！这会违反相对论吗？张朝阳评述道，这里要注意区分两种速度的不同意义。相速度只是波函数上某点自身的前进速度，表征的是一个相位的偏移，不能传递任何真实的信息。而群速度则相反，他直接与波包和外部相互作用相关，传递着物理的、真实的信息，它才对应着物理意义上的波包行进速度。通过计算，可以发现它将保持小于光速，并不会违反相对论光速最大原理。

（张朝阳推导相对论性波包的群速度与相速度）

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