【编者按】

2023年5月27日，是复旦大学118周年校庆。“校庆种种活动，以促进科学研究为中心。”从1954年校庆前夕时任校长陈望道提出这一主张开始，在校庆期间举办科学报告会，就成为复旦的重要学术传统之一。

赓续学术传统，百年弦歌不绝。5月9日起，来自文社理工医各学科的50多位复旦名师将陆续带来学术演讲。

6月2日，“2023相辉校庆系列学术报告”第三十一场，由复旦大学数学科学学院青年研究员李颖洲以“从线性代数到量子计算”为题作报告。

经历40多年的研究发展，量子计算从一个概念进入到落地实现阶段。有别于经典计算机，量子计算机因为其不确定性和连续性的特征而创造了一种新的计算范式，能够在特定问题上实现指数级别加速。李颖洲从线性代数出发，以数学视角分析量子算法，揭示了量子计算强大算力背后的理论基础。

线性代数：分析量子算法的工具

在经典计算机中，基本计算单位是比特，每个比特可以表示“0”和“1”。在二进制下，多个比特状态可以表示一个数字，然后利用经典电路逻辑，如“与”、“或”、“非”等逻辑门进行各种运算。那么量子计算机的基本单元是什么呢？李颖洲通过与经典计算机对比引入了量子比特、量子逻辑门、测量等概念。

线性代数语言是精确描述这些概念不可或缺的工具。单个量子比特可以由复数域上任意单位长度的二维向量表示，单量子逻辑门则可以由2×2的酉矩阵表示，比如Pauli矩阵、Hadamard矩阵等等，而多量子比特的非耦合体系则由若干个单量子比特体系通过张量积得到。

李颖洲 王诚瑞 戚心茹 摄

“这是量子计算最有吸引力的特征之一，因为经典比特的离散化数字表达使得我们只能表示有限多个数，但量子比特的连续性让它能够表示任何一个复向量，这样使得我们在设计量子算法时有了更多的可能。”李颖洲说，当多个量子比特耦合起来后，单量子逻辑门相当于可以作用在多个量子比特上，实现“隐形并行计算”。

李颖洲还指出，量子计算也引入了量子力学的不确定性，量子比特表示的量子态本质上是一个波函数。与“薛定谔的猫”一样，不打开盒子之前我们无法知道猫的生死，量子比特必须经过测量才能得到可接收到的确定性信息，并且每次测量结果都可能不同，得到每个结果的概率由对应向量元素的模长平方决定。

在经典计算机中，计算结果“所见即所得”，因此经典算法不需要考虑测量对结果带来的影响。但在设计量子算法时，我们往往需要将相同的量子线路运行若干次，用频率去近似概率从而得到所需的计算结果。

量子计算是对经典计算的补充

从量子逻辑门到量子算法，李颖洲通过布尔函数的例子说明了简单量子算法线路是如何构造的。在更广泛的应用中，比如分子模拟、计算化学、密码学等领域，量子计算更是展现了它强大的计算能力。

李颖洲分享了自己在电子结构计算领域的相关工作，包括设计量子算法来求解多体薛定谔方程中的基态与激发态能量问题，使得原本在经典计算中需要指数量级计算资源的问题，在VQE框架下约化为多项式量级的量子计算部分与传统计算机上的参数优化部分。类似的想法可以为解决一部分困难的科学计算问题提供另一种思路。

然而，李颖洲也指出，量子计算并非对经典计算的完全超越，而是一种补充。在许多传统问题上，量子计算并不能带来有效的性能提升。“量子力学告诉我们量子态没有通用的克隆算法，这对我们复制未知的量子态造成了巨大困难，而经典计算机可以轻而易举地做到这件事。”

量子计算遇到的另一个巨大困难，是算法噪音。任何量子计算机在运行时都不可能避免与环境发生相互作用，从而对量子比特存储的量子态产生扰动，降低量子比特的表达能力，使得量子比特在实际运用时丧失连续性。如果量子线路深度过大，那最终的计算结果很可能被淹没在大量噪声中无法被测量到。所以在量子计算中，误差校正算法也一直是研究的重点和难点，它决定了那些理论上的量子算法是否真的能通过量子计算机实现。

李颖洲表示，正是由于量子计算有自己独特的优势和劣势，我们在设计量子算法的时候需要特别注意问题的特征。因为量子计算的逻辑非常贴近微观量子世界，所以它在解决量子力学带来的科学计算问题上是非常有效的，这也将会是未来量子计算发展研究的重点之一。