摘 要： 提出了一种基于D-S证据理论的Bayes可靠性评估方案，很好地表达和利用了Bayes方法中的“不确定的”先验信息。在无替换定数截尾试验样本下，研究了指数寿命型产品的可靠性指标的估计问题，提出了可靠性评估的两种方法：通过融合可靠性指标的后验分布进行综合评估和通过融合可靠性指标的后验置信区间进行综合评估。数值实例表明，利用所提出的方法得到的评估结果是“谨慎的”和合理的。

0 引言

在大型复杂产品的可靠性评估过程中，由于时间、经费、保密等因素的限制，客观可靠性信息往往难以获取或者获取的成本较高，每次试验的样本量较少，因此利用经典统计方法很难对复杂产品可靠性参数做出精确的估计。而Bayes统计方法能够把工程技术人员对产品的了解、经验、类似产品的可靠性信息综合起来，对小样本也有比较好的统计推断效果。因此，Bayes方法在复杂产品的可靠性评估中得到了广泛的应用。

在Bayes统计中，验前分布的获取和表示是一个关键的问题。在产品的可靠性评估中，特别是对新型复杂产品，往往会遇到“无信息”或先验信息难以表示的情况。此时，通常会采用Jeffreys原则或“共轭分布法”来确定先验分布。利用这些形式的先验信息再结合样本和总体信息进行统计推断具有一定的主观性和不确定性。D-S证据理论作为一种重要的不确定推理的方法，可以很好地表达和处理这种不确定信息，从而为复杂产品的可靠性评估提供了一种新的途径。

1 相关理论分析

1.1 证据理论

参考文献[1]详细介绍了证据理论的基础知识，现简述如下。

定义1 设?专是X的识别框架，则函数m∶2→[0，1]称为上的基本信度分配（BBA）函数，如果满足：

其中，m（A）是对命题x∈A的精确信任程度的一种度量，表示了对A的直接支持，通常称为A的mass值。对空集分配的基本信度m代表了识别框架的不一致性和不完整性。

D-S证据理论提供了一个有用的合成公式，使人们能融合多个证据源提供的证据。

定义2 设m1和m2是同一识别框上的两个BBA，焦元分别为A1，…，Ak和B1，…，Br，则：

1.2 Pignistic概率

在D-S证据理论中，可用Pignistic概率转换公式将BBA转换成一种概率度量。最常用的转换方法是平均分配法（Smets法），认为每一个元素出现的概率一样，因此把多元素命题的BBA值平均分配给所包含的元素[2]。

其中，|A|为集合A的势；m是对空集的BBA，代表了证据的不一致性。

1.3 最小特异性原则

如果已知目标识别框架上的Pignistic概率，如何从满足此不确定性描述的证据中选择最合理的一条呢？有学者提出，利用最小特异性（Least Committed）原则选出“最谨慎”的一条证据[3]。在这个准则下的最优证据携带的确定性信息最少。

RISTIC B和SMETS P等人[4]研究了连续空间上的证据理论和LC原则，并指出如果Pignistic概率是单峰的，那么在LC原则下满足此Pignistic概率的最优BBA由式（4）决定：

2 指数寿命模型可靠性分析

在Bayes可靠性评估中，如果遇到对参数先验信息不足的情况，常采用Jeffreys原则或“共轭分布法”来确定先验分布。利用这些形式的先验信息再结合样本和总体信息进行统计推断具有一定的主观性和不确定性。根据证据理论的思想，此时可把得到的参数后验分布当作Pignistic概率，再由证据理论处理这些不确定信息。

指数分布是最简单的失效分布，但是在可靠性试验及其统计分析中占有相当重要的地位。现在考虑指数寿命型产品的可靠度的评估。

方案1 通过融合可靠度的后验分布进行综合评估

根据Bayes公式，可得Jeffreys原则和“共轭分布”思想下，可靠度的后验密度函数分别为：

下面看一个具体实例。设某电子设备的寿命服从指数分布。任取15台进行无替换定数截尾寿命试验，事先规定失效数r=7，试验结果为（单位：h）：t1=500，t2= 1 350，t3=2 130，t4=2 500，t5=3 120，t6=3 500，t7=3 800。现在要对该电子设备的t0=500 h时的可靠度进行评估。利用上述评估方案，可得在t0=500 h时该电子设备的可靠度的Pignistic概率密度函数如图1所示。将所得结果与在Jeffreys准则和“共轭分布”思想下得到的t0=500 h时的可靠度的概率密度函数进行对比，如图2所示。

方案2 通过融合可靠度的后验置信区间进行综合评估

从上面可以看出，直接从后验分布出发构建Pignistic概率计算上较为复杂，本文提出一种从可靠度的置信区间出发进行综合评估的简单方法。此时，目标识别框为[0，1]上的区间集合。

设已经得到了可靠度的n个不同置信水平的置信区间A1，…，An，置信度分别为1-1，…，1-n，把其当作?专上的Pignistic概率，根据LC原则选择满足条件的最优证据的线性规则问题可表示为：

其中，f（|A|）是|A|的增函数，度量了A的不精确度；XA=m（A）表示决策变量。

定理1 对LP问题如式（7）所示，当n=1时，最优解对应的非零决策变量只有两个X。

下面结合数值实例说明这个方法的应用步骤。仍然考虑上面提到的例子。由样本数据和Bayes公式可得Jeffreys准则下参数λ的后验概率密度为：

π（λ|t1，…，tr）∝λ6e-47 300λ λ>0（8）

这是伽马分布Ga（7，47 300）的核，即λ~Ga（r，Tr）=Ga（7，47 300），因此：

再由?字2分布的分位数，可得λ的等尾置信区间为：

记此区间为[A（Tr），B（Tr）]，再由单调性，容易得可靠度R（t0）=e置信区间为：

当r=7，Tr=47 300时，易查得

（14）= 6.571，

（14）=23.685，因此，参数λ的0.90等尾置信区间为[6.946 089×10-5，2.503 700×10-4]；进而得到t0=500 h时的可靠度R（500）的0.90置信区间为[0.88，0.97]。

类似地，可推得在“共轭分布”思想下，t0=500 h时的可靠度R（500）的0.95置信区间为[0.87， 0.95]。把由Jeffreys准则下得到的可靠度置信区间[0.88，0.97]的置信度看作是Pignistic概率，即BetP（[0.88，0.97]）=0.85。根据定理1，满足此Pignistic概率的LC-BBA的焦元区间只有[0.88，0.97]和 [0，1]。因此，得方程组：

解得：

m1（[0，1]）=0.109 9，m1（[0.88，0.97]）=0.890 1

同理，把在“共轭分布”思想建立的可靠度置信区间[0.87，0.95]的置信度看作是Pignistic概率，即BetP（[0.87， 0.95]）=0.95。根据定理1，满足此Pignistic概率的LC-BBA的焦元区间只有[0.87，0.95]和[0，1]。因此，得方程组：

解得：

m2（[0，1]）=0.054 3，m2（[0.87，0.95]）=0.945 7

采用Dempster证据组合规则对上面两条证据进行融合，得到一个综合的BBA：

m（[0.88，0.95]）=0.841 8，m（[0.87，0.95]）=0.103 9， m（[0.88，0.97]）=0.048 3，m（[0，1]）=0.006 0

利用Pignistic概率转换公式可得可靠度的一个概率分布为：

在该方案下得到的t0=500 h时该电子设备的可靠度的Pignistic概率密度函数如图3所示。

将所得结果与在Jeffreys准则下和“共轭分布”思想下得到的t0=500 h时的可靠度的概率密度函数进行对比，如图4所示。

3 结论

本文研究了D-S证据理论在Bayes可靠性评估中的应用方法。文中提出了两种方法：（1）通过融合可靠性指标的后验分布进行综合评估；（2）通过融合可靠性指标的后验置信区间进行综合评估。数值实例表明，D-S证据理论在可靠性评估中会给出一个“谨慎”和“保守”的结论，这在对产品没有足够的先验信息是有意义的。例如在大型客机、卫星、导弹等进行可靠性评估时，如果不能及时地检测并避免故障，造成的损失是不可估量的。此时就需要对这些产品的可靠性进行一个“谨慎”的估计。因此，本文提出的评估方法适用于“对产品没有充分的试验信息”而“产品的故障能造成大的风险”的情况。

参考文献

[1] 杨露菁，余华.多源信息融合理论与应用[M].北京：北京邮电大学出版社，2006.

[2] 潘巍，王阳生，杨宏戟.Pignistic概率转换算法设计[J].计算机工程，2005，31（4）：20-22.

[3] DUBOIS D， PRADE H. The principle of minimum specificity as a basis for evidential reasoning[J]. Uncertainty in Knowledge-Based Systems， Lecture Notes in Computer Science， New York： Springer-Verlag， 1987，286：75-84.

[4] RISTIC B， SMETS P. Target classification approach based on the belief function theory[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems， 2005，41（2）：574-583.