双曲线上的点与两个焦点F1、F2构成了焦点三角形。

例1、过双曲线

（a>0，b>0）的焦点F1的弦AB长为m，另一焦点为F2，则△ABF2的周长为

A.4a

B.4a+2m

C.

D.

分析：根据双曲线的定义，在双曲线的焦点三角形中，，=2a，这是焦点三角形中的一个很重要的结论，从而求出△的周长。

解：根据双曲线的定义，设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，则，，所以。因此，△ABF2的周长为4a+2m，故选B。

例2、设椭圆

和双曲线

的公共焦点为F1、F2，P为两曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值等于

A.

B.

C.

D.

分析：充分应用椭圆、双曲线的定义，求出焦半径，在双曲线的焦点三角形中，利用余弦定理，从而求出cos∠F1PF2的值。

解：由题意，不妨设点P在双曲线的右支上，则在椭圆中，，在双曲线中，，所以，。又，故在焦点三角形中，cos∠，因此，选B。

例3、是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足

=32，则∠=____________。

解：不妨假设点P在双曲线的右支上，则，所以

在焦点三角形中，cos∠

，故∠=90°。

例4、已知双曲线

的两个焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积是_________。

解：不妨假设点P在双曲线的右支上，则

由题意知

即，所以，因此，。

例5、过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦PQ，点是另一个焦点，若=，则双曲线的离心率等于_________。

解：设、分别是双曲线的左、右焦点，由题意知在焦点三角形中，，，又，故有。

例6、若已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，能否在双曲线的左支上求一点P，使是P到l的距离d与的等比中项？若能，请求出P点的坐标；若不能，请说明理由。

解：由题意，，即，又，所以。

根据双曲线的定义知，，因此，。

故

，这与点P、、构成焦点三角形矛盾，所以双曲线的左支上不存在点P，使是P到l的距离d与的等比中项。

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