我们从一道简单的题目谈起：

已知a1=1,b1=4。且当n≥1时，有

求

解：

一方面，注意到对任意n≥1,an+1是an和bn的调和平均数，bn+1是an和bn的算术平均数，由基本不等式，有

而0<a1<b1,故由数学归纳法可知

且

结合数列{an},{bn}的有界性可知，{an}和{bn}的极限存在且相等。

另一方面，注意到

记{an}和{bn}的极限是M,则有

M其实就是a1和b1的算术-调和平均数。

根据上面的过程，我们得到如下结论：

任意两个正数的算术-调和平均数等于这两个数的几何平均。

这也是小编研究了“算术-几何平均数”之后的一个小小发现。仿照高斯的研究结果，做了一点的简单的推广。与高斯的算术-几何平均数相比，算术-调和平均数具有非常简单的形式。（一开始很高兴，后来查了资料，才知道这个别人早就发现了。。。）

高斯研究的是两个数的算术-几何平均，一方面，我们可以推广得到其他不同组合的平均，比如刚刚的算术-调和平均，或者其他如”几何-调和平均“，”平方-算术平均“，”平方-调和平均等“。另一方面，我们还可以对更多的数加以推广。

比如，对三个正数，我们可以定义以下”算术-几何-调和平均“：

任取三个正数a,b,c,不妨设0≤a≤b≤c。定义如下三个数列：

则数列{an},{bn}和{cn}收敛到同一个极限，我把极限称为a,b,c的算术-几何-调和平均，记为AGH(a,b,c)。

对于更多正数的情形，一样可以推广。

还有其他推广吗？不妨发散思维，放飞自我一试。这个问题留给读者们。

虽然现在我也不知道推广得到的这些不同平均数有什么实际意义，但是，谁能肯定在将来也没有意义呢？之前的文章中介绍了高斯研究算术-几何平均数，对于研究椭圆积分以及圆周率的快速数值计算就具有很大意义。而且就现阶段而言，从中体会数学家们的思考过程，也是很能锻炼数学思维的啊！