开平方中的×20

笔算开平方为什么要将前面已有的根×20？

针这个问题，我们首先要明确：一个数的平方就是这个数自己×自已得到的积，反过来求这个积的平方根也就是求这个积原来是由那两个相同的数相乘的。找到这两个数相乘的规律，也就找到了分解乘积的规律，也就是求平方根的规律。

两个相同的数相乘：

3 2

× 3 2

----------------

=1024

可以这样计算：

3×3=9（30×30=900）

2×2=4

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2×（3×10）=60

（3×10）×2＝60

这两步算式中都将3扩大了10倍，两次共扩大了20倍。这是因为3本身的位置在十位上。他要乘别人，别人还要交叉乘他，所以共扩大20倍，因此要×20。

上面两式可合并为：

（3×10）×2＋（3×10）×2=120

2×（3×10）×2=120

3×20×2＝120

合计：

900+4+120=1024

总结：

乘法是除法的逆运算，一是分别相乘再相加，一是分别相乘再相减。根据上述原理，我们不难发现：当新的商出现在个位时，原来的商已经移到十位及以上，扩大了10倍，因为相乘是交叉形式，新商×旧商后，旧商还要×新商，两次相乘数字相同，只是前后位置交换，结果不变。所以一次扩大10倍，两次相乘共扩大20倍，因此前面的商要乘以20后再与新商相乘。

....................................

例1：

56×56=3136

5 6

× 5 6

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（1）5×5=25

（50×50=2500）

（2）6×6= 36

6×（5×10）=300

（5×10）×6=300

（3）以上两式合并为：

6×（5×10＋5×10）

＝6×5×（10+10）

= 6×5×20

＝5×20×6

＝600

（旧商×20×新商）

验算：

（1）2500+36+600=3136

（2）

31-（5×5）＝6

余数6连接后两位数为：

636

636-（5×20×6+6×6）

＝636-36-600

＝0

例2：

356×356=12 67 36

3×3=9......

12-9=3

300+67=367

现在已有旧商（平方根）3，个位上的新商是几，新旧连接就是30几。很明显第一次的商3已经移到了十位，变成了3×10＝30。现在个位上的新商在自我平方的同时还要加上新商×3的10倍再加上3的10倍x新商。通过整理：

新商X（3×10）＋（新商×3×10）＋新商的平方

＝2x新商x3×10＋新商的平方

＝3×10×2×新商＋新商的平方

＝（3×20）×新商＋新商的平方

＝（3×20＋新商）×新商

现在可以看出：被除数

367里大约有多少个2×20，新商（新增平方根的个位数字）大约就是这个数，当然还要考虑到最后有一个新商x新商的问题。这实际上就是：

用求出的平方根×20

后试除被除数，能商几就用被除数 --（平方根×20+商）x商。这个商就是所求平方根的第二位数。

同上：将第二次的余数连接下一节2位数作为新的被除数，用这个新的被除数试除（已有平方根×20），能商几就用被除数 --（平方根×20+商）x商。这个商就是所求平方根的第三位数。

以此类推，直到差为0，这时全部的商就是平方根。

367÷（3×20）=5......

367-（3×20+5）×5

＝367-325

=42

4200+36=4236

4236÷（35×20）=6....

4236-（35×20+6）×6

＝4236-4236=0

126736的平方根是356