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500米口径球面射电望远镜(FAST)创新设计方案采用悬索驱动馈源舱做跟踪射电天体的运动,极大地降低了馈源结构的重量。为满足馈源跟踪精度为4mm的要求,文献提出一种调整方案,由安装在馈源舱内部的6自由度Stewart平台进行馈源位姿精调来满足动态跟踪精度的要求。

文献以输入和输出运动变换Jacobian矩阵的条件数为目标函数,对Stewart平台进行了优化设计以获得较好的运动精度。而为减少FAST系统的悬索机构粗调子系统与Stewart平台精调子系统的动力耦合,还需要考虑对平台质量的优化;为获得尽可能大的平台工作空间还需要考虑对平台工作效率的优化。

传统的基于权重的多目标优化求解方法由于权系数无明确物理意义且难以确定,因而不便应用在包含多个目标的工程设计中。文献提出了一种新的多目标优化方法——物理规划。该方法以目标函数为变量,按满意程度区间通过曲线拟合分段构造光滑连续的偏好函数,并形成多偏好函数的综合优化目标函数,有效地克服了上述不足。

文献在物理规划的基础上,考虑工程设计中模糊不确定因素,提出了模糊物理规划方法,拓展了物理规划的应用范围。文献在模糊物理规划的基础上进一步提出了交互式模糊物理规划,使模糊物理规划更便于应用。近年来物理规划已经在系统可靠性分配、结构控制一体化设计、多学科协同优化、稳健优化等方面得到了应用。

本文基于物理规划方法对Stewart平台进行了综合优化设计,综合考虑了其运动精度、重量和工作效率,建立了相关的优化模型,并运用遗传算法进行了优化求解。

物理规划

物理规划简介

物理规划用3种不同类型((1)最小化;(2)最大化;(3)中间化)的偏好函数来表达对某一设计目标的偏好。每一种类型偏好函数又可定义为软偏好函数或硬偏好函数。

其中,软偏好函数作为目标函数,而硬偏好函数可作为约束处理。图1给出了(1)型软偏好函数(1S)和(2)型软偏好函数(2S)。1S型软偏好函数对应于追求目标函数极小化的情况,2S型软偏好函数对应于追求目标函数极大化的情况。但不论是1S型还是2S型软偏好函数,随着目标函数向优化的方向变化(gi(x)的下标i逐渐减小),软偏好函数都逐渐减小。图中,gi(x)表示第i个目标函数,表示相应的软偏好函数,x为设计变量。

目标函数的5个边界值划分出6个满意程度区间(以1S型偏好函数为例):(1)不可接受范围gi≥gi5;(2)高度不满意范围gi4≤gi≤gi5;(3)不满意范围gi3≤gi≤gi4;(4)可容忍范围gi2≤gi≤gi3;(5)满意范围gi1≤gi≤gi2;(6)理想范围gi≤gi1。

图1 第i个设计目标的(1)、(2)型软偏好函数

对于2S型软偏好函数,可依据同样原理也划分出6个满意程度区间,只是相应地将不等号反向。

软偏好函数具有如下两个特点:(1)正的、连续、分段凸函数;(2)偏好函数值无量纲,且越小越好。

偏好函数的构造

形成单个目标的偏好函数时,通常按照式

(对于1S型偏好函数)

首先求出各区间边界偏好函数值及其一阶导数。式中,

为区间边界gik对应的偏好函数值,

为第k个区间的函数偏好值的变化量,sik表示区间边界gik处的偏好函数的一阶导数值,α、β是参数,通常取α<0.1,β=1.5为初始值。其中α较小是为了使拟合曲线的曲率为正,β大于1是为保证拟合曲线为凸函数,如果不满足要求,则增大β直至满足为止(β以每次增大0.5为宜)。单个目标的偏好函数是分段拟合而成的。

最终形成综合多目标偏好函数

式中,nsc表示软偏好函数的个数,fi[gi(x))]表示第i个设计目标的偏好函数,xL、xU表示设计变量取值的下限和上限。

Stewart平台结构优化的数学模型

图2为Stewart平台结构,它由静止的上平台、可动的下平台和6条由伺服电机驱动、可自由伸缩的支腿的组成。分别以上、下平台中心为原点建立整体坐标系O-XYZ和局部坐标系p-xyz。Bi、Pi分别为第i个虎克铰、球铰的中心位置。

图2 Stewart平台结构

设计变量

由FAST两级调整关系可知,Stewart平台的动平台中心需要在半径为50cm、球心高度为z0的球体空间内实现运动(如图3所示),故将z0作为一个设计变量。由于上、下平台铰接点呈中心对称分布在平台圆周上,因而只需确定上、下平台半径以及相邻两个铰接点之间的圆心角。最后确定6个设计变量为

其中Rb、Rp分别为上、下平台半径,αb为同一组虎克铰张开的圆心角,αp为同一组球铰张开的圆心角,r为6条支腿的等效横截面半径,Rb、Rp和r的单位为mm,αb、αp的单位是rad。

图3 精调任务空间

约束条件

考虑到对Stewart平台工作空间的需求、安装条件等因素,设计变量X应满足如下约束条件:

式中,XL、XU分别表示设计向量X取值的下限和上限。另外,考虑到安全因素,平台每条支腿的应力必须小于其材料的许用应力。

目标函数

第i条支腿在O-XYZ中的位置向量为

式中,R表示p-xyz相对O-XYZ的坐标变换阵,pi表示Pi在p-xyz中的位置向量,p表示下平台中心在O-XYZ中的位置向量,bi表示Bi在O-XYZ中的位置向量。

Jacobian矩阵J描述了支腿的运动速度与平台的运动速度之间的变换关系,用

表示下平台的速度,6条支腿的伸缩速度记为向量

,则有

(7)

可通过对(6)式两端对时间求导得出

式中,ei=li/‖li‖为第i个支腿的单位向量,ri=Rpi,i=1,2,…,6。

平台的运动精度可用平台在其任务工作空间的Jacobian矩阵的条件数C(J)来衡量,该值越小精度越高。本文的精度定义为

式中,d(X)是基于Jacobian矩阵条件数的平台的灵巧度函数,l为Stewart平台在其任务空间内的采样点个数,Ci(J(X)表示平台在第i个采样点处的Jacobian矩阵条件数。

Stewart平台的质量可表示为

式中ρ表示材料的质量密度,v1(X)、v2(X)分别为动平台、每个支腿的体积函数。

工作效率用工作空间的体积V2与自身体积V1之比来衡量,该值越大表示效率越高。工作效率表示为

基于物理规划的多目标优化模型

根据偏好函数的定义,Stewart平台优化有两个1S型偏好函数以及一个2S型偏好函数。考虑到1S、2S型偏好函数都在优化过程中逐渐减小,构造基于物理规划的综合多目标优化函数为

式中,各偏好函数区间边界值根据工程实际及设计者偏好而定。考虑到对工作空间的需求、安装条件和安全性等因素,规定设计变量X下限为[-7000,6500,1.0472,2200,0.4363,50]T、上限为[-5500,8000,1.4835,3200,0.8727,120]T。表1给出各目标函数的偏好区间边界值。其中,g1(X)是Jacobian矩阵条件数平均值,理想情况为1,通常必定大于1,本文取其范围为5～40;g2(X)是平台质量,要求在6t到18t之间;g3(X)为体积比,必小于1,本文边界值取0.80～0.40。

表1 物理规划的偏好函数区间

优化问题求解及结果分析

在物理规划已有的工作中,多目标优化问题最终归结为一个单目标优化问题,然后再采用常规优化方法进行求解。而常规优化方法一般只能得到局部最优解,而对于有多个局部最优解的问题则难于处理,因而限制了物理规划的应用。

遗传算法是一种结合了有向和随机两种能力的通用搜索方法,具有很强的全局搜索能力,即使存在多个局部最优点,一般也能得到全局最优解。本文采用遗传算法进行问题求解。由于遗传算法本身不具有约束处理能力,可以通过罚函数法将带约束问题变为无约束问题;又因目标函数为极小值问题,所以采用界限构造法将目标函数转化为如下适应度函数:

其中c0,α为常数,引入常数α是为了避免在遗传进化的后期因种群适应度差异较小、继续优化的潜能降低而获得局部最优解这一现象的发生;β、γ为罚函数的惩罚因子。按表2所示参数编写MATLAB程序进行求解,得到的最优解如表3。

表2 遗传算法参数

表3 优化结果 下载原图

图4 各目标函数的变化曲线

图4给出了目标函数的变化曲线,其中(a)、(b)、(c)给出了3个目标函数优化过程变化曲线,其变化趋势符合设计期望。对比表1和表3,可以看出这3个优化目标函数落在可容忍区间,这是由于这3个目标函数有冲突,实际得到是Pareto解。(d)曲线绘制了适应值的变化,适应度曲线从60代开始趋于平稳。

本文基于物理规划,对FAST精调Stewart平台进行了多目标优化设计。研究的特点和主要结论如下:

(1)采用物理规划方法进行平台结构的多目标优化设计,通过构造偏好函数,避免了传统线性加权方法权系数难以确定这一问题,减轻了计算负担。

(2)综合考虑Stewart平台的运动精度、重量和工作效率,得到了优化问题的Pareto解。

《模糊物理规划及其在结构设计中的应用.中国机械工程》

《基于物理规划的模糊稳健优化设计》

《遗传算法与工程优化》