相对论和量子力学是近代物理的两大支柱，但这种说法容易引起误解。相对论是一种原理，一种哲学，一种我们构建物理理论时必须遵循的原则，而量子力学是一种实用的理论，它们不在一个层面上。相对论是光和连续统的孩子，而量子理论是物质和分立性的孩子（维尔切克语）。其实，相对论和量子力学的主角都是光（光子）和电子。1925-1927年之间当量子力学理论得以确立的时候，相对论已是相当成熟的理论。如何把相对性原理应用于量子力学波动方程的构造，是当时许多物理学家思考的问题。相对论量子力学的构造，可从洛伦兹群表示开始，任何庞加莱协变表述的量子力学都是相对论量子力学。若直接将

撰文 | 曹则贤（中国科学院物理研究所研究员）

1 相对论与量子力学的结合

有一种说法，相对论和量子力学是近代物理的两大支柱。这种言论，有把相对论和量子力学放在同等地位的嫌疑。笔者以为量子力学是实用层面的理论，而相对性是一种原理、一种哲学或者信条，是构造物理理论时需要遵循的原则，故有相对论动力学、相对论热力学和相对论量子力学之说。

到1925-1927年期间关于电子的量子力学得以建立时，相对论已经是一门相当成熟的理论了，广义相对论的引力场方程也已面世十年之久。让量子力学波动方程满足相对性原理，即具有洛伦兹变换不变的形式，是许多人脑海中自然而然的想法。注意，那些量子力学的奠基人，若不同时是相对论的奠基人，至少也是非常熟悉相对论的人，爱因斯坦、普朗克、薛定谔、泡利、狄拉克、玻恩、劳厄、福克等人，莫不如是。

2 克莱因-戈登方程

克莱因-戈登方程不构成任何单粒子理论的基础，它后来被诠释为自旋为零的粒子的场方程。在量子场论中，所有量子场的每一个分量都要求满足克莱因-戈登方程。据信2012年发现了的自旋为零的粒子—希格斯玻色子，是克莱因-戈登方程描述的唯一基本粒子。克莱因-戈登方程的另一个适用对象是pi-介子这样的复合粒子。克莱因-戈登方程的另一个提出者福克（Vladimir Fock，1898-1974）还研究了克莱因-戈登方程的规范理论。

3 狄拉克方程

3.1 自旋是相对论效应

3.2. 正电子的预言与发现

1929年狄拉克认为空间的真空态可看作是负能态电子充满的海。一个负能态的电子跃迁到正能量状态，会在负能态海中留下一个空穴。负能态电子激发后留下的空穴在电磁场下的行为类似是带正电的。空穴的概念是拿重原子的电离过程作类比得来的。因为那时候已知的带正电荷的粒子只有质子，狄拉克认为质子就是负能态电子海的空穴，但这遭到了奥本海默的反对。如果质子是电子负能海里的空穴的话，那氢原子会迅速自我毁灭。此外，狄拉克方程里只有一个质量，但是电子和质子质量完全不同，相差1836倍。1931年，狄拉克修正了此前的诠释，认为存在反电子（anti-electron），其与电子的质量相同但电荷相反，和电子接近会湮灭。这个念头十分荒唐，但好物理学只怕懂物理的物理学家荒唐得不够。

狄拉克在1931年抛出了存在正电子的念头，1932年8月2日安德森（Carl David Anderson，1905-1991）就宣称他发现了正电子，并因此获得了1936年的诺贝尔物理学奖。安德森研究宇宙射线，他在一张拍摄到的气泡室照片上发现了同时出现的、方向相反但弯曲程度差不多的粒子径迹。磁场下带电粒子轨迹的曲率半径由粒子的荷质比 q/m 所决定，反向的、半径大约相同的轨迹意味着粒子具有相反的电荷和相同的质量。此后，安德森又用由放射性核衰变而来的γ射线照射物质，也产生了电子-正电子对，从而获得了存在与电子质量相等、电荷相反之粒子的确凿证据。安德森1932年的宇宙射线经过气泡室后可观察到正电子的实验照片不易直观地得出存在正电子的结论，这里笔者选用γ射线产生电子-正电子对的过程，以便读者见识到更有说服力的直观证据。图1的照片中可见一个‘个’字形的线条，这里是γ射线-原子核碰撞的发生处，中间的那根线差不多是直直地延伸出去的，这是作反冲运动的原子核留下的径迹。在碰撞的发生处出现了两个螺旋，两个螺旋向相反方向展开，且弯曲程度差不多，表明确实是由具有差不多大小但相反之荷质比的带电粒子造成的，这算是证明了确实存在正电子。据信斯科贝尔钦（Dmitri Vladimirovich Skobeltsyn，1892-1990）1929年用云室探测宇宙线中的γ射线时就注意到了有和电子弯折方向相反的粒子，但只是被当作某种未知的带正电的粒子而已。赵忠尧先生（1902-1998）1929年在研究γ射线被铅散射的过程时，也记录到了产生电子-正电子对的过程。因为没有狄拉克的疯狂思想，这些实验结果的重大意义没有被破解。安德森的观测结果生逢其时。

图1. 美国Lawrence-Berkeley 国家实验室拍摄的一张γ光子经原子核散射产生电子-正电子对的过程。入射的高能γ光子是不可见的。中间划过大半个画面的一条线是原子核反冲留下的径迹，两个螺线是电子和正电子在磁场下反向旋转所留下的径迹。尖劈状的两条线是由更高能量γ光子产生的电子-正电子对径迹的一部分。

3.3 正电子发现的意义

正电子的发现是狄拉克方程正确性的一个证据，确立了存在反粒子的事实。反粒子的概念后来被扩展到所有粒子，比如有反质子、反光子、反中子等等。质子和电子的情形一样，反质子与质子的质量相同但电荷相反，反质子的电荷为负。中子不带电，反中子与中子的质量相同且也不带电荷，它们的区别在于别的量子数上。中子的重子数（baryon number）为1，反中子的重子数为-1。反质子和反中子分别于1955年和1956年被发现。至于光子，光子无质量、无电荷，如何反？理论认为光子是它自身的反粒子。由反粒子进一步引出了反物质（antimatter）的概念—由一个正电子和反质子组成的原子就是一个反氢原子。目前，人们已经能在实验室里制备出反氢原子，寿命超过了1000秒。反粒子概念的提出，开启了人类认识基本粒子的大门，有兴趣的读者可以多修习一些粒子物理的内容。

正电子的发现，以及正电子-电子湮灭过程，比如 e^++e^-→2γ ，将狭义相对论得出的质能关系放到了极限意义上去理解。从原子核的裂变过程，或者原子发射光子的过程，人们得出的质能关系为 ΔE=Δmc^2 ，即过程中获得的额外能量 ΔE与过程造成的质量亏损（deficit）Δm 之间有量化的关系 ΔE=Δmc^2 。笔者以为，等到确立了类似 e+^+e^-→2γ 这样的过程，人们才可以确切地说质量可以完全转化为能量，或者说质量为 m 的静止粒子携带能量 mc^2 。当然，电子-正电子湮灭的产物不只有光子，根据能量的不同，这个湮灭过程还可以产生别的粒子，如中微子、 粒子对、希格斯玻色子，等等。这让通过高能电子-正电子碰撞获得新粒子成为可能。顺便说一句，e^++e^-→2γ 这样的湮灭过程提供了原子中电子跃迁之外的另一种发光机理。

从前人们熟悉光的吸收这个自然过程，因此认为光子是倏逝的（evanescent）。电子-正电子湮灭过程让人们认识到电子这样的基本粒子也是倏逝的。等到1932年费米建议质子也是可以摧毁的，则所有构成物质的粒子都是倏逝的。粒子不是永恒的，可以产生和湮灭，这为量子场论的诞生准备了心理基础。

反粒子的发现，也带来了更多的困惑。同样一组方程描述的粒子，为什么电子那么多而正电子却那么少甚至要借助专门的过程制备？为什么电子-反电子一旦相遇会瞬息湮灭? 电荷相反、质量相等显然不是很有说服力的理由。在电子作为构成单元的物质环境中，正电子是短命的(粒子的寿命是个环境依赖或者说相互作用依赖的概念)。当然了，物质环境中的反物质更是短命的。

3.4狄拉克方程的曲线坐标形式

4 相对论量子力学方程的一般构造5 量子场论

狄拉克方程和克莱因-戈登方程，若只当作是单粒子的相对论量子力学方程，有许多待协调的地方。克莱因-戈登方程有仿照薛定谔方程定义的几率密度非正定（在相对论场论中被诠释为电荷）的问题。狄拉克方程预言了反粒子，侥幸解释了负能量的问题和电子的自旋，但是无自旋的粒子也有反粒子，比如 W^+ 和 π^+ 粒子都有反粒子。存在反粒子是相对论和量子力学结合的结果。狄拉克的空穴图像对解释这个事实无能为力，因为无自旋的粒子不遵循不相容原理，这些粒子的负能级即便被占据了也不能阻碍别的粒子继续占据它。此外，狄拉克方程预言了反电子的存在，而电子-反电子相遇会发生湮灭，由此看来很难说狄拉克方程是单电子的量子力学方程。从这些视角返过头去看看麦克斯韦理论，麦克斯韦理论也该算是关于光子产生和湮灭的理论。这些不易协调的地方，都呼唤一种新的理论，其将粒子的湮灭和产生当作基本过程处理。相对论和量子力学的完全协调就需要这样的一门崭新理论—量子场论。在量子场论中，狄拉克方程的负能解和反粒子伴随的问题都有了自然的解释。在量子场论中，狄拉克方程的正能解乘上湮灭电子的算符，故正能量是湮灭电子过程得到的能量，而负能量解乘上正电子产生算符，负能量是产生正电子产生过程需要借用的能量。

量子场论的提出，在二十世纪四十年代之后结出了硕果。依据量子场论的思想，人们相继构造了量子电动力学和量子色动力学。那是一条通向更多发现的路。

本文取自曹则贤著《相对论-少年版》，科学出版社，2019

注释

（1）俄罗斯科学家Yuri Manin说：“为什么c=1呢， 因为它就等于1。”

（2）相对论关切的是4维的时空，为一赝黎曼空间。四字就经常出现。此处出现的Vierbein，德语，四条腿，和Tetrad, 拉丁语，四重，都是冲着四维时空而来的概念。

参考文献

[1] P. A. M. Dirac, The quantum theory of the electron, Proceedings of the Royal Society A. 117 (778), 610–624(1928).

[2] Armin Wachter, Relativistic quantum mechanics, Springer 2011

[3] Walter Greiner, Relativistic Quantum Mechanics:Wave Equations (3rd ed.), Springer Verlag (2000).

[4] P. A. M. Dirac, Quantised Singularities in the Quantum Field，Proceedings of the Royal Society A 133 (821), 60–72(1931).

[5] Frank Wilczek, Quantum field theory, Reviews of Modern Physics 71(2), S85-S95(1999).

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