“兔子数列”是这样的一个数列：

｛1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、1597、2584、4181、6765、10946、17711、28657、46368、75025、121393、196418、317811、514229、832040、1346269、2178309、3524578、5702887、9227465、14930352、24157817、39088169、63245986、102334155、165580141、267914296、433494437、701408733、1134903170、1836311903、2971215073、4807526976、7778742049、12586269025、20365011074、32951280099、53316291173、86267571272、……｝

（此处具体罗列了前54项的值）

这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。

“兔子数列”因意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，1170～1250，籍贯比萨）以兔子繁殖的例子引入而得名，也称为斐波那契数列、黄金分割数列。

列昂纳多·斐波那契

“兔子繁殖的例子”如下：

“

一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

”

更多详情请参阅：百度百科《斐波那契数列》

本文的重点在于详细表达“兔子数列”通项公式的推理、计算过程，以期在数学思想、数学方法上有所收获。

（一）为什么要求数列的通项公式？

数列不是一堆杂乱无章的数的随便罗列，而是一组（有限或无穷）有规律的数。这种“规律”的一个表现是：数列的任意一项都是可以通过确定的规则计算求得的。“兔子数列”的规律被描述为：“第1项是1，第2项是1，从第3项开始，每一项都等于前两项之和”。根据这个“规律”，可以计算得出任意一项的值，但是，每次的计算都基于“前两项已知”，或者说“总要从第1、2项开始逐次递推”。假设要求得第100项是多少，则要递推98次，这似乎很烦。“通项公式”正是为了寻找一种直接根据“项数”计算该项“数列元素值”的方法，具有相当的优越性。每一个学习数列的人，面对“通项公式”，总是欲罢不能。

（二）符号约定

本文以：

｛c1、c2、c3、c4、c5、c6、……、cn、……｝

表示“兔子数列”，c表示数列中的元素，下标1、2、3、……、n、……表示数列元素的序号或项数（取值范围是非0自然数：N*或N+），合并起来，cn表示第n项的数列元素值。

整个数列简记为：{cn}

（三）什么是通项公式？

通项公式是这样的一个函数：

cn=F(n)

表示直接由项数n∈N*求得数列的对应项元素cn，计算规则由F确定。至于F具体是什么，则是下文的主要目标。

如果将n值逐项代入，“兔子数列”重新表达为：

｛F(1)、F(2)、F(3)、F(4)、F(5)、F(6)、……、F(n)、……｝

其中：F(1)=1、F(2)=1, F(n)= F(n-1)+F(n-2)(n≥3，n∈N*)。

整个数列简记为：{F(n)}

（有时候，我觉得这种“数学符号的表达方法”也是同样基础而重要的数学知识，本文并无原创性的数学知识和方法，只好在“细节探索”和“科普”上发力，这种啰哩巴嗦的符号叙述可能更能体现这一行文主旨）

（四）基础数列

等和（差、积、比）数列：从第二项起，每一项与它的前一项的和（差、积、比值）等于同一个常数的数列，这个常数叫做等和（差、积、比）数列的公和（差、积、比）。

等差数列：首项a1，不定项an，通项公式an=a1+(n-1)×d，其中d为公差；

等比数列：首项a1，不定项an，通项公式an=a1×q^(n-1)，其中q为公比。

等和数列、等积数列：均为循环数列或摆动数列，没有研究价值。

（五）“兔子数列”通项公式的求解难点

“兔子数列”既非等差数列，也非等比数列，更非循环数列。直接套用“基础数列”求通项的方法是行不通的。

（六）核心思路：分拆“兔子数列”

让人感叹“数学大牛”们脑洞大开的是，他们是如何找到“求解思路”的，至今我仍有疑惑。这个思路是：分拆“兔子数列”。

容易验证：两个等差数列的合并（对应项做加法或减法）仍旧是一个等差数列，两个等比数列的合并不一定还是等比数列，除非这两个等比数列的公比相等，即：q1=q2。

我们打算把“兔子数列”分拆成两个公比不相等（q1≠q2）的等比数列的对应项的和。

（重要程度★★★★★）

一个等比数列由首项和公比唯一确定，设这两个公比不相等（q1≠q2）的等比数列分别是：

{an}={a、a×q1、a×q1^2、……、a×q1^(n-1)、……}

{bn}={b、b×q2、b×q2^2、……、b×q2^(n-1)、……}

令：{cn}={an}+{bn}={an+bn}

则：{cn}={a+b、a×q1+b×q2、a×q1^2+b×q2^2、……、a×q1^(n-1)+b×q2^(n-1)、……}

=｛F(1)、F(2)、F(3)、……、F(n)、……｝

根据已知条件有：

F(1)=a+b=1 方程①

F(2)=a×q1+b×q2=1 方程②

F(n)=a×q1^(n-1)+b×q2^(n-1) 通项公式

接下来，只需要具体求出两个首项：a、b，两个公比：q1、q2，便可得到“兔子数列”具体的通项表达式F(n)。

（七）关键条件：求解公比q1、q2

“兔子数列”的关键条件是：F(n)= F(n-1)+F(n-2)(n≥3，n∈N*)。

如果等比数列{an}、{bn}均满足这个关键条件，即有：

a×q1^(n-1)=a×q1^(n-2)+a×q1^(n-3) 方程③

b×q2^(n-1)=b×q2^(n-2)+b×q2^(n-3) 方程④

则：

{cn}={an+bn}也满足上述关键条件，即：

a×q1^(n-1)+b×q2^(n-1)=a×q1^(n-2)+b×q2^(n-2)+a×q1^(n-3)+b×q2^(n-3)

只需将方程③④左右两边对应相加即可验证。

化简方程③④得：

q1^2=q1+1

q2^2=q2+1

这是两个同解方程，等价于：

q^2=q+1 方程⑤

（重要程度★★★★★）

解得：

公比：q1、q2

（八）势如破竹：求解首项a、b

解方程①②联立的方程组：

a+b=1

a×q1+b×q2=1

得：

首项：a、b

（九）大功告成：代入求解F(n)

F(n)=a×q1^(n-1)+b×q2^(n-1)

代入a、b、q1、q2，求解并化简得：

“兔子数列”通项公式

百转千回，终于破解了萦绕心头多年的疑问。这个通项公式让我们看到：一个自然数数列，它的通项公式居然要用“无理数”来表达，不得不令人啧啧称奇。

再会。