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有限元求解静力学基本原理

高级星辰SZ 78

前言:

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有限元计算是将连续系统离散成为有限个分区或单元,对每个单元提出一个近似解,再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。以有限元法求一等截面直杆在自重作用下的应力应变为例,如图1所示。

图1直杆问题及离散模型

已知:一受自重作用的等截面直杆,杆的长度为L,截面积为A,弹性模量为E,单位长度的重量为q,杆的内力为N。试求:杆的位移分布,杆的应变和应力。

(1)将等截面直杆划分成3个等长的单元,每段长度为L/3。每段之间假定为一个铰接点连接,故称这些铰接点为节点,分别为节点1、2、3、4;称每个线段为单元,分别为单元L1、L2、L3。

(2)用单元节点位移表示单元内部位移,第i个单元中的位移用所包含的节点位移来表示:

其中,ui为第i节点的位移;xi为第i节点的坐标。

第i个单元的应变、应力、内力分别为

(3)把外载荷集中到节点上。等效为把第i单元和第i+1单元重量的一半q(Li+Li+1)/2,集中到第i+1节点上。

(4)建立节点的力平衡方程。对于第i+1节点,由力的平衡方程可得Ni-Ni+1=q(Li+Li+1)/2。

令λi=Li/Li+1,并依次代入可得

根据约束条件可知u1=0。

对于第n+1个节点,有

(5)建立所有节点的位移平衡方程。

对于节点1, u1=0。

对于节点2,-u2+2u3-u4=qa^2/EA。

对于节点3,-u1+2u2-u3=qa^2/EA。

对于节点4,由N3=qa/2和N3=EA(u3-u4)/a两式得

四式联立,即可求得各节点位移,代入相应公式,可求得各节点应变、应力和反力。

由此可知,有限元计算流程为建模、离散(网格化)、加载及约束定义、计算得结果。同理,有限元软件分析流程即为前处理(含建模、网格划分)、边界条件定义(约束和载荷定义)、计算和后处理。

WB在计算流程上界面非常友好,相比ANSYS经典界面,整个操作更像一道填空题,用户根据软件的提示在相应位置填入对应的数据,即可完成计算。WB相对于经典界面有许多智能化的操作,其中单元类型的选择不再是由用户直接定义。WB同样具有单元类型的自定义,依据单元类型的不同,分为梁单元、XY平面单元、壳单元、实体单元、Link单元等。

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