思考题详解之人教版《数学》三年级上册3： 一共要进行多少场比赛

　　2019年1月6日星期日

　　本文是人教版《数学》三年级上册思考题详解的第3篇，选择的内容是第九章《数学广角——集合》的思考题。图如下：

人教三数上册105页思考题

　　文字版如下：

　　“

　　学校举行乒乓球比赛，A组、B组两个小组各有16人，每组两人一对进行比赛，负者被淘汰、胜者进入下一轮，最后两组第一名进行决赛。两个小组赛一共要进行多少场比赛？

　　”

　　这个思考题解决起来应当还是很轻松的，我们给出两种方法。

（一）理解题意

　　乒乓球比赛是没有“平局”的。为了了解这一点，我们可以做一些搜索：

　　“每局比赛都必须分出胜负，10：10后每人轮发一个球，直到一方比对方高出2分，这时高出2 分者获胜。”

　　“一局比赛中，先得11分的一方为胜方。10平后，先多得2分的一方为胜方。”

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　　说法众多，此处引用，意思只有一个：没有平局。

　　与解题何干？一场比赛，必有一人胜出，亦必有一人被淘汰。比赛的流程可以概括为：先组内进行选拔赛（或淘汰赛），再组间进行总决赛。“一场比赛定胜负”，以及“没有平局”的存在，保证了比赛“场次”是确定的、可计算的。

（二）方法一：关注比赛

　　这个方法应当是比赛“组织者”或“裁判员”所关注的：谁和谁比，流程是什么？

　　我们以A组为例模拟组织过程（B组道理相同）。

　　设：

　　A＝｛⑴，⑵，⑶，⑷，⑸，⑹，⑺，⑻，⑼，⑽，⑾，⑿，⒀，⒁，⒂，⒃｝

　　序号表示A组内运动员编号。

（----------------分----------------隔----------------线----------------）

　　一般为了公平起见，“谁和谁比”往往采取随机抽签的方式决定。下面胡乱给出其中一种组合方式进行示意：

　　1.⑴←→⑽；

　　2.⑵←→⑾；

　　3.⑶←→⒃；

　　4.⑷←→⑼；

　　5.⑸←→⒂；

　　6.⑹←→⑿；

　　7.⑺←→⒁；

　　8.⑻←→⒀。

　　这是什么意思呢？我们假定由1～8号运动员随机从9～16号中抽选对手。这种方式不具备完全的随机性，因为可以看到：1～8号之间是没有可能在第一轮比赛中成为对手的。所以这样，只是为了此处模拟叙述的方便和简化随机抽取的过程。另外，我们的关注点在于“场次”的计算，显然共有：

　　第一轮：16÷2＝8（场）

　　可以轻松想到的问题是：如果人数是14人、15人……或许安排起来比较麻烦。三年级的思考题还是从最简洁的情况入手的，此处留白吧。

（----------------分----------------隔----------------线----------------）

　　经过第一轮的比赛后，8人胜出，8人被淘汰。不能确定的是，胜出（或淘汰）的是哪8人？为了叙述可以进行下去，我们假设是：

　　A1＝｛⑴，⑾，⒃，⑷，⑸，⑿，⒁，⑻｝

　　您应该可以明白，如此假设的意思是：⑴胜了⑽，⑾胜了⑵……

　　于是进入第二轮比赛，又是随机抽签，假设如下：

　　1.⑴←→⑻；

　　2.⑾←→⑸；

　　3.⒃←→⑿；

　　4.⑷←→⒁。

　　可见共有：

　　第二轮：8÷2＝4（场）

（----------------分----------------隔----------------线----------------）

　　继续假设第二轮胜出者如下：

　　A2＝｛⑾，⒃，⒁，⑻｝

　　再开始第三轮比赛：

　　1.⑾←→⑻；

　　2.⒃←→⒁。

　　可见共有：

　　第三轮：4÷2＝2（场）

（----------------分----------------隔----------------线----------------）

　　继续假设第三轮胜出者如下：

　　A3＝｛⒃，⑻｝

　　再开始第四轮比赛：

　　1.⒃←→⑻。

　　可见共有：

　　第四轮：2÷2＝1（场）

　　不妨假设第四轮胜出者如下：

　　A3＝｛⑻｝

（----------------分----------------隔----------------线----------------）

　　但是，作为一道数学思考题，我们依然不关心具体胜出者是谁，我们关注的重点在于A组的“组内选拔总场次”：

　　8＋4＋2＋1＝15（场）

　　同理，B组规模也是16人，也要“组内选拔”15场，最后A、B两组再进行一场总决赛，因此共需比赛：

　　15＋15＋1＝31（场）

　　我们不光解决了一个数学问题，还获得了组织比赛的具体流程，因此我们说：这是比赛“组织者”或者“裁判员”的思维方法。

（三）方法二：关注淘汰者

　　也许，您更想成为一个数学家，这个方法的确是更巧妙一些的，因为它只关心数学问题的解决。

　　因为：1场比赛淘汰1人；A组共有16人；A组最终选拔1人。

　　所以：A组要淘汰15人，A组要进行组内淘汰赛15场。

　　易得，两个小组比赛总场次：

　　15＋15＋1＝31（场）

　　是不是感觉有点豁然开朗？如果正面思维繁杂时，转换思维角度或许会有出奇不意的效果。

（四）根本问题：与集合有什么关系

　　即使如此，我们的思考仍然没有结束，也许您已经陶醉在了“方法二”当中。但是，一个重要的问题是：既然是安排在“集合”一章的思考题，解题过程怎么看起来和“集合”没有关系呢？

　　对于“集合”这个重要的数学概念和数学思想方法，三年级数学算是初次引入，教材都谈到了什么呢？本文不作赘述，只上两图：

人教三数上册105页

　　可见，只是一些关于两个“集合”间“去重”的一些计算和集合的“维恩图”表示。至于，什么是“集合”，重复的部分相当于两个集合的“交集”，去重计算相当于求出两个集合的“并集”，以及“差集”、“补集”、“全集”什么的，自然是不会说明甚至引入的。

　　搬出这些概念来，不是为了吓唬小学生，而是为了引起注意和思考，这东西背后“问号”很多。本文拟在教材的基础上做三点引申。

　　（1）什么是“集合”？

　　是由一堆具有相同性质的东西组成的整体。构成集合的这些东西叫做集合的“元素”。

　　跳绳的学生＝｛杨明，陈东，刘红，李芳，王爱华，马超，丁旭，赵军，徐强｝

　　A＝｛⑴，⑵，⑶，⑷，⑸，⑹，⑺，⑻，⑼，⑽，⑾，⑿，⒀，⒁，⒂，⒃｝

　　就是两个集合。集合名：跳绳的学生、A；元素：人名、运动员编号。

　　如果要给集合找个近义词，就是：“1”，单位1。在五年级时会反复遇到，所谓单位1，其实也是一个整体，本质上，和集合是一回事。

　　（2）“集合”有什么特点？

　　①集合元素的确定性。如果让“漂亮的人”组成一个集合，这是办不到的，因为“漂亮”可不是什么确定的特点，呵呵。

　　②集合元素的互异性。如果：

　　跳绳的学生＝｛杨明，杨明，杨明，杨明，杨明，杨明，丁旭，赵军，徐强｝

　　就不要啰嗦了，应当写成：

　　跳绳的学生＝｛杨明，丁旭，赵军，徐强｝

　　如果是重名而不同的人，也应当继续区分：

　　跳绳的学生＝｛杨明1，杨明2，杨明3，杨明4，杨明5，杨明6，丁旭，赵军，徐强｝

　　③集合元素的无序性。如果：

　　A＝｛1，2，3｝

　　B＝｛2，3，1｝

　　C＝｛3，1，2｝

　　表面看是三个集合，取了不同的名字：A、B、C，但其实它们是同一个集合，记作：A＝B＝C。集合当中的元素是不区分顺序的，判断两个集合是否相同的核心在于：元素是否一一对应且相同。

　　（3）什么是“维恩图”？

　　它是由十九世纪英国数学家维恩（John Venn，公元1834年8月4日─公元1923年4月4日）系统解释和发展起来的用于表示“集合”等内容的一种草图，也叫文氏图。

　　相比于用大写字母A、B、C和花括号｛｝表达集合，用画图的方法更加直观、形象，便于初学者理解。这正是“维恩图”的绝妙作用。

　　也许，正是由于“维恩图”这个外国名字，使得它莫名变得“高大上”了，变得不可捉摸、难以理解了。其实，我们大可以叫它为：“圈圈图”。来看个简单的例子，您就明白了。

　　下图是什么？

　　是9个三角形。如果在其外围加一个圈，又是什么？

　　我们说这是由9个三角形组成的一个集合。这就是“圈圈”这种“维恩图”的作用。如果非要追问这个集合代表什么，您可以展开想像，自由赋予“元素”三角形以任何具体的意义。

　　然而，“维恩图”亦非就这么“白痴”。

　　如果想描述两个集合的关系，用“维恩图”简直是神来之笔！

　　①两个集合无交叉（或无重复、交集为空）

　　②两个集合相交（有重复部分）

　　③两个集合的包含

　　此时，看起来小一点的集合B全部是集合A与集合B的重复或相同部分。

　　当然，这依然是“维恩图”很小的应用。

　　让我们回到“乒乓球比赛”，这道思考题与集合有什么关系呢？

　　且看下图：

　　于是可得类似例1的算法：

　　16＋16－1＝31（场）

　　或许，这样才算完整吧。

　　再会，就此打住。今天，杀鸡算是用了牛刀！哈哈……