本文为“2023年第五届数学文化征文活动

HPM视角下组合概念的教学

作者 : 樊惟媛

作品编号：016

英国数学家、哲学家罗素（B.A.W.Russell，1872-1970）说过：“数学不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美.”我们将数学至高无上的美以怎样的形式呈现给学生呢？融入数学史是其中的一种方式.卡约黎（F.Cajori，1859-1930）说过：“一门学科的历史知识乃是使面包和黄油更加可口的蜂蜜.”事实上，《普通高中数学课程标准（2021年版）在“课程结构”与“课程内容”中均明确提出“数学文化融入课程内容”，而数学史则是数学文化的重要部分.

“组合”既是高中数学学习的一个重点，又是高中数学中的一个难点，难在学生不容易正确区分排列与组合，并且学生对排列组合部分的内容学习兴趣不足。而 HPM 可以为高中数学课堂教学提供一个新的视角，从已有文献来看 HPM 视角下的教学设计可以促进学生对数学概念的理解，提高对数学的学习兴趣，有助于教师达成教学的目标。但已有文献 HPM 视角下的组合教学的研究很少，因此笔者将从 HPM 的视角对组合概念课的教学进行课例研究。笔者试图追溯组合的发展历史，分析教材、课标、教参后，结合学情，从HPM的视角对《组合（第1课时）》进行教学设计，以突出重点、突破难点.让学生感受数学的趣味性，欣赏和热爱数学，促进学生对数学的理解，感受数学文化的魅力.并将之实践于一节区级公开课《组合》的课堂教学.

1 教学分析

1.1分析教材、课标、教参

【教材地位】

组合是沪教版高中三年级第16章第4节的内容，在教材中起到了承前启后的作用，承前面的排列内容及两个计数原理，启后面的二项式定理内容及概率论.《组合》这部分内容既是高中的一个重点，是学习二项式定理、概率论的基础；也是高中的一个难点，学生难以将排列与组合正确区分.

【课标要求】

《普通高中数学课程标准（2021年版）》中对“组合”的相关内容作了如下说明.

内容标准：通过实例，理解组合的概念；能运用计数原理推导组合数公式.

教学提示：在本主题的教学中，教师应通过典型案例开展教学活动，案例的情境应是丰富的、有趣的、学生熟悉的；在案例教学中要重视过程，层次清楚，从具体到抽象，从实际到理论.在计数原理的教学中，应结合具体情境，引导学生理解许多计数问题可以归结为分类和分步两类问题来引导学生根据计数原理分析问题、解决问题.

学业要求：能够结合具体事例，识别和理解分类加法原理和分步乘法原理及其作用，并能运用这些原理解决简单的实际问题.能够结合具体实例，理解组合与计数原理的关系，掌握运用计数原理推导组合数公式.

【教参建议】

与教材配套的教参中对组合的教学重点作如下建议：

1.理解并掌握组合、组合数的概念；

2.掌握组合数与排列数的关系，掌握组合数的计算公式及推导过程，并能解决有关组合数的计算问题；

3.能把一些简单问题中的具体计算问题转化为组合、组合数的计算，从而解决一些简单的组合方面的应用题；

4.能正确区分排列问题与组合问题.

1.2分析学情

在学习组合之前，已学习排列的相关内容以及两个计数原理.

任教班级新疆班学生，新疆班学生的学习基础与上海本地班学生有一定差异，因此在制定《组合（第1课时）》的教学目标时，要考虑让学生听懂、理解、感兴趣.同时，结合新疆的地域文化，将新疆极具特色的传统手工艺织品——艾德莱丝绸融入课堂教学，渗透民族文化，践行立德树人，增强学生的民族自豪感，培养民族自信心.

1.3确定教学目标、重点及难点

在认真分析教材地位、课程标准及教参教学建议的基础上，结合学生情况，对《组合（第1课时）》的教学内容制定以下教学目标、重点及难点.

【教学目标】

（1）理解组合、组合数的概念，能正确认识组合与排列的联系与区别；

（2）融入数学史，让学生体会引入组合的必要性；创造探究机会，让学生体验知识发展过程；通过问题请教，而是抽象出组合数公式，能够推导、计算与运用；

（3）通过微视频，加深学生对组合数公式的认识，并感悟方法之美、文化之魅；

（4）渗透数学文化，激发学生学习兴趣，促进数学理解，培养学生数学抽象、逻辑推理等的核心素养.

【教学重点】

组合数公式的推导及运用.

【教学难点】

组合与排列的联系与区别.

2史料选取及运用

2.1历史上组合相关问题

（1）调制香水

公元6世纪，印度的瓦哈米希拉在其著作《吠陀占星术》（Brihat Samhita of Varahamihira）中给出了稍大些的组合数，他计算出从16种成分中提取4种做成香水有1820种组合.

（2）数丝绸颜色

早在13世纪，艾哈默德·阿布达瑞·伊本·穆恩依姆便讨论过从一个n元的集合中取r件东西的组合数，他是用取r-1个东西的组合来考察推导这个数的.伊本·穆恩依姆基本上是在检验那个老问题，即从阿拉伯字母中可能形成的词的个数.但在处理这个问题之前，他考虑了一个不同的问题：由十种不同颜色的丝绸可以做成多少种不同颜色的丝绸捆？

（3）正整数因数

法国数学家舒腾（F.van Schooten）也探讨过组合数问题.他首先取4个字母a,b,c,d，列出其中1个、2个、3个和4个的所有可能的组合如下:

共有15种组合.

2.2历史上排列相关问题

（1）10个公理

公元1世纪古希腊史学家普鲁塔克（Plutarch）曾告诉我们，公元前3世纪的希腊哲学家克里西普（Chrysippus）曾发现10个公理的不同排列数超过1000000，而公元2世纪的希腊天文学家伊巴古则错误地给出该排列数为101049或310925.

（2）阿拉伯单词

公元8世纪，一位印度的词典编纂者卡利勒伊本艾哈默德(717-791)对阿拉伯语中的单词进行分类,他计算了由阿拉伯文的28个字母中取2,3,4或5个字母组成的单词的个数.

（3）组合锁

公元1560年，法国数学家布丢在其《算法》一书中，不仅研究了四骰子的组合数问题，还研究了带有若干个可转动圆柱的组合锁问题.

组合锁2.3组合术语的历史

17世纪，法国数学家帕斯卡和英国数学家沃利斯则最早使用了“组合”（combination）这一术语.

2.4史料的运用

数学史融入数学教学的方式一般可分为附加式、复制式、顺应式和重构式. 《组合》教学设计中，通过附加式介绍阿拉伯单词问题以及正整数因数问题，引出字母排列问题和字母组合问题，还通过附加式介绍 “组合”术语由来以及组合数的符号表示；通过复制式引入香水成分问题；运用顺应式将10个公理的排列问题改编成4个公理中选取三个公理有序学习问题，将组合锁问题改编成共享单车的密码锁问题，将丝绸问题改编成艾德莱丝绸选取染料着色问题。微视频中的组合数公式推导，则是通过介绍历史上组合数公式的发生发展过程，让学生感悟不同时间、不同国家的人对组合问题都有研究，对数学问题的研究是超越时空的，感受多元文化的魅力、具有国际化的视野.

3教学设计与实施

3.1创设情境,引入组合

先复习已经学过的排列相关内容，包括排列的定义、排列数的定义、排列数公式、全排列的定义以及全排列公式.教师分别让学生1~学生5作答.

设计意图：起到承前启后作用，既巩固旧知，又为学习组合之后让学生比较排列与组合的联系与区别做铺垫，为学习组合数之后引导学生由排列数公式及乘法原理推导组合数公式做铺垫.

再创设两个问题情境，通过具体实例，巩固排列，引入组合。

情境1：公元8世纪，一位伊斯兰的词典编纂者艾哈默德对阿拉伯语中的单词进行分类,他计算了从28个阿拉伯字母中取2,3,4或5个字母组成的单词的个数.

教师：请说出从a,h,m三个字母中任取2个字母的排列有哪些？

学生6：ah,am,hm,ha,ma,mh。

设计意图：字母排列问题，既是对排列相关内容的巩固，又为引入字母组合问题做铺垫.通过回溯历史上词典编纂者对字母排列问题的研究，让学生感悟不同学科（外语、数学）间的联系，体现数学学科的应用价值.让教材上抽象的字母引例（仅对字母a、b、c排列而缺乏实际意义）具象化，让学生切身体会字母的排列顺序不同所表达的意思也不同.即便两个相同字母，如果交换字母顺序，则对应不同的单词.

教师：（PPT上展示六个单词及其对应含义）非常好，有6个。排列与取出元素的次序有关。以am与ma为例，这两个字母排列的顺序不同，所对应的单词也不同。

情境2：17世纪的荷兰数学家舒腾借助字母研究过正整数的因数问题。若是一正整数的三个不同的素因数（m=a×b×c），则有哪些除1以外的正因数呢？

教师：请思考一下。

学生7：ab,ac,bc。

教师：嗯，还有吗？

众学生：abc。

教师：还有呢？

众学生：a,b,c。

设计意图：同样是字母，既可以是排列问题，又可以是有实际意义、符合学生认知水平的组合问题，让学生感受引入组合的必要性.同时，在列举m有哪些除1以外的正因数时，又用到了前一节课学习的分类加法原理.

教师：非常好。此处，以a,b为例，交换字母的顺序，表示的仍是同一个正整数。也就是说，不需要对字母排序，只需要组成一组即可。一般地，我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

设计说明：从字母a,b,c构成正整数m的因数问题中，类比排列的定义，抽象出组合的定义.

3.2概念辨析，归纳小结

辨析：排列与组合的相同点与不同点。

教师：从定义来看，排列与组合的相同点是什么？

学生8：都是从n个不同元素中取出m个元素。

教师：非常好。那排列与组合的不同点是什么呢？

学生9：排列，对所取出元素的次序有要求；而组合，对所取出元素的次序无要求。

设计说明：借助板书“字母排列”与“字母组合”实例，让学生直观感受并总结出排列与组合的联系与区别.

紧接着给出四个具体实例，让学生分别判断是排列问题还是组合问题，以加深学生对排列与组合概念的理解。

实例1：公元前3世纪的希腊哲学家研究过10个公理的不同排列数问题。求从以下4个公理中选取3个公理有序学习，有多少种不同的学法？（PPT上展示平面三公理及线线平行公理的具体内容）

学生10：排列。

教师：学生11，你可以说一下学生10说这是一个排列问题的原因吗？

学生11：这是有顺序的。

实例2：公元6世纪，印度数学家瓦哈米希拉在其著作中计算出了从16种成分中提取4种做成香水的可能性。（PPT上展示问题，并配上香水图片）

教师：这是一个什么问题？

学生齐声答：组合。

教师：理由呢？

众学生：没有顺序。

实例3：ofo共享单车是当下很流行的一种共享骑行方式，通过移动App输入车牌号即可解锁密码.而它的锁是由4个可转动的圆柱组成，每个圆柱上有09十个数字。求ofo共享单车的锁可设成多少种不同的密码？（PPT上展示问题，并配上教师在校园里骑共享单车的照片以及共享单车上密码锁的照片，如图1、图2）

教师：这是一个什么问题呢？

学生思考片刻后，教师听到学生小声作答。

教师：我们听到了不同的声音，有说排列有说组合的。分别请说一下理由，先请“组合”的同学派出一位。有主动举手的吗？

学生12与教师有眼神交流。

教师：学生12，请你来说一下。

学生12：我的说是排列。

教师：噢，你说的是排列，请坐。那学生13，我听到你也说的是排列，请你来说一下这是排列问题的理由？

学生13：这应该是有顺序的。

由于班里有学生有困惑，因此教师不仅要让学生说出正确答案，而且要通过具体例子让有困惑的学生明白。

教师：举个例子呢？

学生13难以回答，教师加以引导。

教师：就是说如果将取出的交换顺序以后，它表示的是同一个密码还是不同的密码。能举个例子吗？

学生13：比如1234。

教师：如果交换一个顺序？

学生13:2341。

教师：好，请坐。学生13说1234与2341，同学们来判断一下，这两个是同一个密码还是不同的密码？

学生齐声答：不同的密码。

教师：取出的元素都相同，都是1、2、3、4，但是排列的顺序不一样，表示的是不同的密码。因此，这是一个什么问题？

学生齐声答：排列。

实例4：艾德莱丝绸是维族姑娘十分喜爱的丝绸料.它是使用蚕丝，采用古老的扎经染法工艺，按照图案要求进行染色。假设某个图案用到了4种颜色，那么要先从已有的20种颜色的染料中选出4种，求有多少种不同的取法？

学生14：组合问题。

教师：判断的依据是什么？

学生14：和元素的那个什么没有关系。

教师：和元素的什么没有关系？

众生：顺序。

教师：和取出元素的排列顺序没有关系。因此，这是一个？

学生齐声答：组合问题。

教师：非常好。

设计说明：这四个排列组合辨析题既源于教材，又不同于教材.源于教材课后练习题4个排列组合的判断题，但题目内容不同于教材.在编制问题时，4道题中有2道排列题（1道可重复排列、1道不可重复排列）、2道组合题.第1道题(公理)，是排列问题.列出的4个公理，是我们之前所学过的平面三公理及线线平行公理，都是学生熟悉的内容.第2道题（香水成分），是组合问题.让学生感受数学来源于生活，而又服务于生活.第3道题（共享单车密码），是排列问题.该题体现数学学科的应用性，灵感源自于数学史上公元1560年法国数学家布丢在其《算法》一书中研究的组合锁问题.第4道题(艾德莱丝绸)，是组合问题.该题也是源自数学史.早在13世纪，艾哈默德·阿布达瑞·伊本·穆恩依姆研究组合数公式时，曾研究过由十种不同颜色的丝绸可以做成多少种不同颜色的丝绸捆问题.由于任教的是新疆班学生，结合新疆地域文化元素——艾德莱丝绸，从学情出发，将丝绸捆问题改编成艾德莱丝绸问题，既符合学生认知水平，又增强学生的民族自信心.

小结：排列与组合的根本区别。

教师：通过以上这几个题目，我们能否得到排列与组合的根本区别是什么？也就是说，我们怎么判断这是一个排列问题还是组合问题的呢？

学生低声说：看有没有顺序。

学生15：改变它们（即取出元素）的顺序，看一下本质上有没有什么变化。

教师：同学们说，他说得对不对？

众学生：对。

教师：我觉得说得非常好。排列是有序的，组合是无序的。而我们自己在判断时，可交换一下取出元素的顺序，如果表达的是相同的意思，就是？

学生齐声答：组合。

教师：如果表达的是不同的意思，就是？

学生齐声答：排列。

教师：因此，根本区别是与所取出的元素的次序是否有关系。（PPT上展示组合与排列的根本区别）

设计意图：通过四个辨析题，总结出排列与组合的根本区别.从特殊到一般，从具体问题归纳出抽象结论，培养学生数学抽象的核心素养.

3.3发散思维，小组讨论

举例：学习、生活中的组合问题。

教师：接下来请同学们思考，在我们学习与生活中是否也存在一些组合问题呢？四个人一个小组，交流讨论一下.

2分钟后，学生举手，教师提问。

学生16：最贴近我们生活的是，高一时要从物理、化学、生物、政治、历史、地理6个科目中选择3门。

学生17：从3个公司或3个以上公司中任意选2个公司签合同。

学生18：去做志愿服务。从一个班的同学中选10名去做志愿服务。

学生19：每天布置的作业。每天有两节自修课，第一节课与第二节课写什么科目没有顺序。

教师：关键是作业都得要完成。

众学生哈哈笑。

教师：如果说10个科目作业，时间有限，只能完成8个科目，与完成的顺序无关，只看结果，完成的是哪些科目。就是一个组合问题。当然，我们提倡每个科目的作业都完成。

学生20：去商店买东西。雪碧，巧克力，面包。身上带的钱不够，只能从它们中选两样。

教师：很好。

设计意图：发散思维题目，促进学生对组合概念的理解，让学生体会组合在学习、生活中的体现，引导学生感悟数学的应用价值。

预设：若有学生举例排列问题，则可让其他学生判断这是组合问题还是排列问题，并让学生尝试将这个排列问题改编成组合问题.

注：在另个新疆班讲《组合（第1课时）》时，学生举例很精彩.不仅仅举例选科问题，还举例美食、水果、学习小组等与我们学习、生活息息相关问题。比如，举例新疆的一道特色名菜——大盘鸡，从多种蔬菜中取出几种蔬菜放进锅里跟大盘鸡一起炒；举例学习小组的成员组成问题，从40名同学中随机抽取4个同学组成一个学习小组；举例从多种水果中选取3种放进果篮……

3.4学组合数，推导运用

类比：组合数定义。

教师：我们刚才研究的是组合问题。之前学习排列时，弄清是排列问题之后就去计算排列数。同样，在弄清是组合问题之后就去计算组合数。同学们能否根据排列数定义类比组合数定义呢？

学生21：我觉得就是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素组合在一起的个数。

教师：很好。从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.通常用Combination的首字母C表示组合数，记作.

教师再向学生们介绍“组合”（combination）术语由来：17世纪，法国数学家帕斯卡和英国数学家沃利斯最早使用了“组合”（combination）这一术语.运用：组合数。

教师：我们重新来看艾德莱斯绸问题“假设某个艾德莱丝绸的图案用到了4种颜色，在着色时要先从已有的20种颜色染料中取出4种，求有多少种不同的取法？”，刚才我们判断出了它是一个组合问题，现在我们表示出它的组合数。（PPT上展示具体问题及艾德莱丝绸图片）

学生齐声答：.

推导：组合数公式。

教师：（板书）说完之后，有同学就提出问题“如何去计算呢”，是不是？

众学生：嗯。

设计意图：该问题起到过渡的作用,既是对学生提问组合数的回答，又为接下来推导组合数公式做铺垫.同时,让学生体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法.

教师：回到艾德莱斯绸问题。刚才我们说“从20个不同颜色染料中取出4种颜色，是个组合问题”，在这基础上，我们能不能再编出一道排列问题呢？

学生22：取出4种颜色的染料，按照一定的次序去染图案。不同的次序，染出不同的布料。

教师：很好。（用手示意PPT上的艾德莱斯绸丝巾）比如在同一布料中，用到了四种不同的颜色，也就是有四块不同的图案。每个图案到底着什么颜色，这就是一个排列问题，对不对？

众学生：对。

教师：这个排列数是多少呢？

学生的回答不够整齐，有说，有说。

教师：学生22，你刚才说的是从哪里取的？

学生22：从4种颜色中，按照一定的次序去染。不同的次序，会染出不同的布料。

教师：学生22的意思是，先取出4种颜色，然后对取出的4种颜色进行排序，这是一个排列问题。（板书）排列数是。刚才有同学说到，可以解释一下吗？

学生23：从20种颜色染料中选出4种颜色去着色。

教师：很好。学生23说，从20种颜色燃料中选出4种颜色对图案进行染色。

学生22说，先从20种不同颜色染料中取出4种，再将这4种颜色按一定次序去着色。这两种表达意思同吗？

学生24：意思一样。

教师：表达的意思是一样的。那对应的排列数什么关系呢？

学生24：排列数相等。

教师：到底是什么等于什么呢？

众学生：

教师：为什么是乘，不是加呢？

学生25：因为从20种颜色的染料中选4种，然后再对选出的4种排序，是分步完成的。

教师：这是分步完成的，运用的是分步计数原理，也就是乘法原理。非常好，请坐。我们得到了这样的式子（示意黑板上公式）。现在同学们能否计算出了呢？

设计说明：沪教版的教材上通过从佘山、朱家角和大观园三个景点中选出两地分别安排上午和下午的旅游活动、选出两地安排一天的旅游活动，得出.然而到底是还是2!，学生不易弄懂，不具有推广性.故将此题换成艾德莱丝绸问题，且体现一题多用.不仅用于判断该问题是排列还是组合问题，还用于组合数符号的书写，以及组合数的推导与计算.

板书说明：教师在黑板上有序板书、、，方便学生观察三者之间的关系以及方便板书成.如果学生没有答出，则可以引导学生将艾德莱丝绸着色问题从分步计数原理的角度分析.并可由得到.

学生齐声答：可以。

教师：这个会计算了，是不是？

众学生：是。

教师：非常好。我们可以从这个公式中抽象出：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的组合数？

众学生：。

设计意图：引导学生从具体实例中抽象出组合数与排列数、全排列之间的关系，提升学生数学抽象素养。

教师：（板书）太棒了，非常好。接下来我们把这个公式里的、用之前学的排列数公式、全排列公式展开，看看到底可以表示成什么？

学生沉默，教师提示。

教师：（板书）太棒了，非常好。接下来我们把这个公式里的、用之前学的排列数公式、全排列公式展开，看看到底可以表示成什么？

教师：等于什么？

学生齐声答：。

教师：非常好。那呢？

学生齐声答：。

教师：（接着刚才板书）所以我们就得到了组合数的公式是？

学生齐声答：。

设计意图：引导学生根据排列数、全排列推导出组合数公式，培养学生逻辑推理素养。

教师：（接着刚才板书）非常好。这个就是组合数的公式，。我们可以再展开成若干项相乘的形式？

众学生：。

教师：我们最后就表达成这个形式吗？

众学生：可以化简。

教师：哪些项可以化简？

学生26：分子、分母里的可以约掉。

教师：也就得到？

众学生：。

教师：也就是？

教师和学生一起说：。

设计意图：引导学生得出组合数公式的另种表示。

教师：其实，这里的分子，我们是否可以直接得到？

众学生：可以。

教师：从哪里？

众学生：。

教师：非常好。因为就等于n(n-1)···(n-m+1)。

教师在黑板上板书=

设计说明：从刚才的，让学生抽象出，从而推导出组合数的一般公式.此处归纳的内容也要板书，用彩色粉笔写在之前板书内容的下方.

运用：组合数公式。

例1：艾德莱丝绸问题

教师：（PPT上再给出艾德莱斯绸问题）这样的话，我们是不是可以计算出了从20种不同颜色染料中取出4种，到底有多少种取法？

教师：我们可以用），也可以用。

教师：请同学来说一下，这里的等于什么？

众学生：。

教师板书。

例2：香水问题。

教师：（PPT上再给出香水问题）再回到之前的香水问题。爱美之心人皆有之，数学探究……

学生：永无止境。

教师：从16种成分中提取4种做成香水的可能性有多少？公元6世纪，印度数学家瓦哈米希拉在其著作Brihat Samhita of Varahamihira中计算出了从16种成分中提取4种做成香水的可能性.请问你也能计算出来吗？

众学生：。

设计意图：与之前的排列组合辨析题相呼应，之前学生答出是组合问题，此处计算出该组合数.通过具体题目，让学生感受组合数.相比教材例题中直接计算组合数与，更直观、更有意义.

通过融入数学史，让学生感悟不同时间、空间的人们都对数学问题进行探究，最后回到教材。

例3：选班干部问题。

问题：某班要选举班干部，现有10名候选人，要从10名候选人中选出4人.（1）将这4人组成班委，有多少种不同的选法？（2）让这4人担任班委中4项不同的职务，有多少种不同的选法？

学生集体作答。其中第（2）问，引导学生用两种方法解决：基于第（1）问；直接计算。

3.5课堂总结，提炼升华

分小组讨论，派出代表，总结本节课学习的内容，教师提炼、补充。

4 教学反思

上完之后，通过学生的问卷反馈、听课教师的评价以及教师的自我反思，本节课主要有如下几个特点：

4.1学生们能正确区分排列与组合，自主推导出组合数公式

通过问题情境环节的字母排列构成单词问题与正整数因数问题，学生对排列与组合的区别有一定了解。概念辨析环节学生的回答反映出学生能够正确区分排列与组合。

通过艾德莱丝绸问题的引导，学生能够弄清排列数与组合数之间的关系，即，从而正确推导出组合数公式。对于新疆班学生来说，能够正确理解排列问题与分步计数原理、组合数公式之间的关联实属不易。

4.2 学生建立了“组合”与生活之间的紧密联系

提到“组合”，学生能够想到很多生活中的组合问题。HPM视角下的“组合”这节课在6个班级上过并做了调查问卷，发放调查问卷226份，收回有效问卷218份。对于开放性问题“提到组合，你会想到什么呢？”，学生们共写了642条，有321条不同的内容，频数大于1 的词云如图1。有170条说想到生活中的组合，占了总数的26.5%。其中有148条写的是具体的生活中组合问题的例子。说明学生能够学以致用，建立数学与生活之间的紧密联系。

4.3 课堂氛围非常活跃

通过生动有趣的“概念辨析”问题，提高了同学们的学习兴趣，再让学生们思考生活中的组合问题并小组讨论，充分活跃了课堂气氛。 学生们列举了很多生活中的组合例子，不仅仅举例选科问题，还举例美食、水果、学习小组、志愿服务等与我们学习、生活息息相关问题。

4.4 体现的数学思想方法和核心素养

本节课主要体现的数学思想方法有从特殊到一般、从具体到抽象、从实际到理论等.以艾德莱丝绸问题为例，从特殊的某一个问题抽象出某一类问题，体现从特殊到一般；从具体的艾德莱丝绸问题取色的计算，抽象出的推导；从实际问题出发，回归到理论.

本节课着重培养学生的数学抽象和逻辑推理等核心素养. 在求正整数m有哪些除1以外的正因数时，抽象出字母a,b,c的组合.在计算出之后，让学生抽象出组合，从而得到组合数的公式。在计算之时，则培养学生逻辑推理，借助艾德莱丝绸的取染料着色问题，寻找、、之间的关系.

综上，可以看到以适当的方式将数学史融入到“组合”概念课堂教学，不仅有利于学生对组合数公式的的理解，帮助学生弄清排列数与组合数之间的关系，正确推导出组合数公式，而且帮助学生建立数学与生活之间的紧密联系。本节课虽然没有运用重构式融入数学史，但有效达成了教学目标，可以作为常态化教学推广。

参考文献

[1]汪晓勤，韩祥临.中学数学中的数学史[M].北京：科学出版社，2002:210-215.[2]吴竣，汪晓勤.数学史融入数学教学的实践：他山之石[J]数学通报，2014（2）:13-16.[3]（美）Katz，V. J. 数学史通论（第2版）. 李文林，王丽霞译. 北京：高等教育出版社，2008.[3]Katz，V.J.(1998).A History of Mathematic：: An Introduction.2e[M].李文林等，译.北京：高等教育出版社,2004：178-181；208-211；238-242.[4]Katz，V.J. Using History to Teach Mathematics An International Perspective[M]. Washington: Mathematical Association of America，2000.[5]Smith，D.E. History of Mathematics Volume II Special Topics of Elementary Mathematics [M]New York: Dover Publications, Inc.，1925：524-531.

已发文章>>

001 “数”里有乾坤 “形”中悟真知——以一次函数为例谈代数推理

002《龟兔赛跑》寓言故事的数学教育哲学阐释

003 HPM视角下小学数学单元整体教学实践研究——以人教版五年级下册多边形的面积为例

004 朝三暮四：猴子不懂加法交换律

005 数学联结远方的友谊——原来我们能看到同一片云！

006 数学可以很好玩：数学让我站在世界之巅

007《能被3整除的数的特征》教学设计

008《三角形内角和》应该怎么教？

009 浅谈数学美

010 小学数学教材中的对称图形研究——美学的眼光看教材

011 微积分在西元前——古典微积分思想分析与探讨

012 巧作三角形 证明不等式

013 数学文化融入高职数学课堂案例研究

014 HPM视角下高中数学探究型课堂的设计

015 折纸一时爽，一直折一直爽