文/福星徕

编辑/福星徕

前言

方程组的准线性和齐次形式以及初始条件和边界条件是解决不同领域中的数学方程组的重要问题。准线性和齐次形式的方程组在物理学、工程学和应用数学中具有广泛的应用，通过对其特征进行分析和求解，可以揭示相应问题的本质和解决方案。

同时，准线性和齐次形式方程组的初始条件和边界条件为问题的完整解提供了重要的限制和约束。准线性方程组包含线性和非线性项，而齐次方程组则不含非线性项。通过理解和区分准线性和齐次形式，能够准确描述不同问题的数学模型。

初始条件是指在某一时间点上给定系统的状态，边界条件则是指在系统的边界上给定的限制条件。这些初始条件和边界条件在方程求解过程中起到了关键的约束作用，决定了问题的唯一解或解的性质。

通过对方程组的准线性和齐次形式以及初始条件和边界条件的分析，可以深入理解数学模型的特性，这对于改进问题求解方法、提高模型预测能力和优化系统设计具有重要意义。

方程组的准线性和齐次形式

由于速度-τ的耦合，应力方程的双曲型特性扩展到动量方程中。方程系统的双曲型性质是数字模拟中收敛性和稳定性丧失的困难的根源。正确的双曲型部分的数值离散化和适当的边界处理是必要的。

假设速度向量场满足不可压缩性约束。那么，在运动量方程中，压力梯度作为拉格朗日乘子可以被视为已知量。于是，对系统进行重组，将其置于准线性形式，即：

其中，d=1, 2, 3代表问题或几何体的维度，向量w = [u1, u2, τ11, τ12, τ22] | 对于d=2 (以及w = [u1, u2, u3, τ11, τ12, τ13, τ22, τ23, τ33] ) 是原始变量的向量，方阵Ai代表空间方向i上的一阶导数系数。

右边的s项包括了分子扩散项和根据运动量梯度的压力项，H(τ)包含了弛豫项和与非线性模型相对应的非线性项。

对于d=2的维数2，一阶导数A1和A2的系数矩阵如下：

对于d=3，第一导数A1，A2和A3的系数矩阵写成：

在这里，准线性方程以非守恒形式呈现，构成了系统的双曲部分。建议分析准线性形式的实际特征，形式如下：

当d=2etw为平面波时，方程组的整体符号写成：

其中n=（−·+k·u）。

一般情况下，如果在任何单位向量κ的方向上，准线性齐次方程组称为时间演化方程。换句话说，在时间t的任意方向上，方程可写为如下形式：

只具有实数特征值Λ ∈ R，并且对于所有特征值（可以重复），相应的特征向量是线性无关的，那么该方程组纯粹是双曲型的。其特征多项式方程可以写成以下形式：

并具有以下根：

如果张量为正定的，则在任何方向κ下，存在五个实特征值（五个特征速度）:

需要注意的是，在数值方法应用中，双曲性条件可以直接在以下常规方向上进行计算：κ1 = (1, 0) 和 κ2 = (0, 1)，当 d = 2。

这相当于对矩阵 Ai 的特征值进行谱分解：Ai = Li · Λi · Ri，其中 i = {1, · · · , d}，矩阵 Li 逐列表示特征向量，Ri =Li −1 ，Λi 表示特征值的对角矩阵。对于 d = 2，Ai(w) 的表达式导致以下对角矩阵 Λi：

当d=3，得到：

通过对超波系统的特征变量进行类似于Thompson提出的分析，可以理解特征值的物理意义。重新考虑只考虑一个方向i的齐次准线性形式：

然后将方程系统乘以矩阵 Ri = Li −1，并使用 Ai =Li · Λi · Ri 的分解，可以得到：

如果现在将特征变量在i方向上的向量设置为dvi=Ridw，得到一个由5个纯平流方程（或d=3的9个方程）组成的系统，其中每个特征变量在i方向上相互独立地携带：

需要注意的是，这种特征变量的识别方法在二维或三维问题上不能完全相同，并且必须在局部进行解释，因为右侧特征向量矩阵 Ri 在流动域内不是恒定的。

此外，它允许在空间方向上逐个方向地对对流项 (λi)j ∂(vi)j ∂xi 进行离散化，使用适用于双曲型方程系统的数值格式。实际上，每个特征值(λi)j表示特征变量的第ji个无量纲传播速度在笛卡尔空间的第i个方向上。

对于二维问题，特征值都具有简单的重数。在三维情况下，特征值ui的重数为3，而ui∓√ci的重数为2。同样在此问题中，所得到的特征值与Trebotich和Gerritsma使用低振幅稳定性方法得到的特征值相同。

在2D中，得到的矩阵Li和Ri分别为：

根据上面的Ri，前四个特征变量，即Riw的前四个分量，是速度和τ的组合。它们显示了动量方程和流变学模型之间的耦合或波状连接。

而最后一个特征变量，是τ的各个分量的组合，表示了在给定空间方向上τ的某些分量之间的一致性。在3D中，得到的Li和Ri分别为：

观察到，在三维情况下，前六个特征变量，即Riw的前六个分量，是速度和τ的组合。它们反映了动量方程和流变学模型之间的耦合关系。而最后三个特征变量反映了在每个空间方向上τ各个分量之间的一致性。

流变模型的双曲性条件

Oldroyd-B、Giesekus和Phan-Thien-Tanner模型可以在聚合物的分子理论框架下解释。宏观流体元素中聚合物附加应力的演化与构像张量c = hqqi 相关联，被视为该流体元素中聚合物大分子微观构型分布的平均值（其中q表示大分子的位矢向量）。

将聚合物附加应力与构像张量相关联的关系由所谓的Kramers公式给出。对于Oldroyd-B、Giesekus和Phan-Thien-Tanner模型，其无量纲形式可以写成以下形式：

其中˜c是c的归一化版本，在平衡状态（t = 0）时取I。构像张量与大分子构型分布的二阶矩演化方程相关联。根据定义，该张量是对称的且正定的。

可以观察到，构像张量的归一化法线分量在一个常数的换算下，等同于调节系统的双曲性条件的量。因此，可以推断出：

由于系数1−β (1−ξ)Ma2始终是正的，可以将方程条件作为判断系统的齐次方程组是否双曲的充分条件。换句话说，如果构像张量˜c对于所有可能的变形都保持正性，那么系统的齐次方程组就是双曲的。

此外，需要注意的是，由于滑移参数ξ的存在，条件可能更为严格。Oldroyd-B、Giesekus和PTT模型分别通过构像张量的方程给出。将这三个模型根据构像张量表示的一般性本构定律可以找到：

其中P(˜c)是一个满足客观性原则的实函数，即在参考系变换下保持不变。符号表示Gordon-Schowalter导数，任何各向同性的实函数可以写成以下形式：

其中标量函数g0（~c），g1（~c）和g3（~c）作为构象张量主不变量的函数给出，

对于形式为方程的任何模型，Hulsen证明了g1(˜c) > 0是一个足够的条件，使得构像张量˜c在初始时刻为正时，在t > 0时保持正性。根据Hulsen的定理，下面给出了Oldroyd-B、Giesekus和PTT模型中函数P(˜c)的表达式以及保证构像张量正性的足够条件。

Oldroyd-B模型：

对于Oldroyd-B模型，滑移参数ξ = 0，构像张量的Gordon-Schowalter导数˜c简化为上卷导数∇˜c。根据构像张量的表示，Oldroyd-B模型可以写成以下形式：

根据方程条件，标量函数g1、g2和g3取值为g1 = 1 We，g2 = -1 We和g3 = 0。由于Weissenberg数We > 0，所以g1 = 1 We > 0，因此Oldroyd-B模型导致的构像张量是正定的。

Giesekus模型：

与Oldroyd-B模型类似，Giesekus模型的滑移参数ξ也为零，即ξ = 0。Giesekus模型由方程给出，可以写成如下形式：

可以确定以下标量函数：g1 = 1−α We，g2 = −1−2α We和g3 = α We，并且可以得出结论，如果g1 = 1−α We > 0，即α<1时，Giesekus模型会产生一个定义为正的构像张量。

Phan-Thien-Tanner模型：

对于PTT模型，滑动参数为非零，=∈[0，2]。根据之前条件所给出的PTT模型写成如下：

PTT模型的函数线性形式为：

如果g1=1-a we>0，线性PTT模型诱导正定构象张量。当0≤e（1-=）<1 3时，满足此条件。对于PTT模型的指数形式，函数是严格正的，并且保证了双曲性的条件。即：

对于证明公式的正性，第二种方法是检查这些流变模型的积分形式。

初始条件和边界条件

通常情况下，解析或数值求解偏微分方程系统需要指定边界条件并确定系统变量的初始条件。对于由方程描述的非等温粘弹流动，边界条件和初始条件是必不可少的。

对于一个时间相关的牛顿流体流动，其中聚合物的额外应力张量为零，解决方程组关于时间的解只需要初始时刻（即t=t0=0）的速度场u0，压力场p0(x)和温度场T0(x)。即：

请注意，在非增量投影方法中，压力场的初始化是不必要的，因为在时间的第一个步长中，初始压力不会出现在动量方程的抛物线部分中。

但如果只关注定常解，初始场u0，p0(x)和T0(x)的规定则可以任意进行。在粘弹性聚合物流体的时间相关流动的情况下，需要一个关于聚合物超应力张量分量的初始条件，即：

对于这种情况，由于方程系统的双曲部分引起的耦合，速度初值和初始额外应力张量之间需要满足方程本构关系的一致性。

对于某些具有解析解的基准问题，初始额外应力张量和速度在初始时刻是以解析方式给定的。在其他问题中，将τ0 = 0作为初始条件，即粘弹性流体的应力状态在初始时刻完全松弛。

在方程系统中，边界条件可以是机械类型或热力类型。主要可以区分为固体不透水壁面条件和进出流动条件。对于不可压缩流动，与动量扩散相关的抛物线部分要求在流体域的边界上为速度向量的每个分量指定边界条件。

而方程系统中的双曲部分，由本构模型和动量方程引起，与剪切弹性波的传播相关，需要指定进入流体域的特征量。当域边界的一部分是固体不透水壁面时，进入流体域的特征量可以与离开流体域的特征量相关。在域的入口和出口处，要强加的特征量的数量取决于流动的状态（亚临界还是超临界）。

对于与不可压缩条件有关的椭圆部分，不需要为保证质量守恒而指定压力边界条件，只需要对边界上的法向速度进行兼容性条件：速度法向的面积分在域边界上必须为零。

对于固定且不可渗透的固体边界∂Ωparoi，通常有附着条件，即流体在固体表面的速度为零。因此，在边界处有u = 0作为速度条件。这意味着流体与固体之间没有滑动。

在存在可移动边界的情况下，速度分量可以具有非零值。这些条件在抛物线部分是经典的。

方程系统的双曲部分，即准线性部分，具有实际的进入和离开特征，并因此需要额外的信息来在域的固体不透水壁上进行评估。具体来说，需要确定进入特征。根据附着条件，进入特征的数量等于离开特征的数量：进入特征可以称为入射或反射特征。

例如，对于一个水平壁面（法向量n = (0, 1, 0)），在双曲部分中只有一项需要额外的信息来在壁面上进行计算。由于附着条件，进入特征的传输速度与离开特征的速度相等，但符号相反，并且通过离开特征来获取入射特征。

对于域的入口和出口部分，抛物线部分需要指定法向压力梯度或法向速度。对于入口 ∂Ωin，通常已知并预先设定了速度分量uin。

在域的出口部分 ∂Ωout，流动通常被假设已建立且单向，并应用了法向导数为零的条件：

双曲部分在域的入口和出口处也需要额外的信息才能进行评估。实际上，流体域入口处的法向特征主要是入射的，因此需要确定它们。入射特征的数量取决于传输速度的符号，对于与法向量的点积为负的特征，需要额外的信息。

举个例子，对于法向方向为 i = 1 的入口，其法向向量为 n = (-1, 0, 0)，入射特征与项 A1 ∂ ∂ x w 1 相关联，特征的传输速度 (λ1)j 分别为 u1，u1 ± √c1 和 u1 ± √2c1。

当 (λ1)j > 0 时，特征是入射的，并且需要预先设定，这称为超临界状态。对于 (λ1)j < 0，特征是离开的，这称为亚临界状态。在离开领域时，遵循相同的方法：区分输入和输出特性（超临界和亚临界速度），并确定输入特性。

能量方程作为抛物型方程，它描述了一个标量（温度）的对流/扩散方程。为了解决该方程，需要在域的不同边界部分上施加热边界条件。这些边界条件可以是以下几种类型：

1. Dirichlet 边界条件：通过温度来指定，即在边界上直接给定温度值。2. Neumann 边界条件：通过温度的法向梯度（热流密度）来指定，即在边界上给定温度的法向梯度值。3. Fourier 边界条件：它是上述两种边界条件的混合形式。

通常情况下，当指定的温度是均匀的时，该边界被称为等温壁，当温度的法向梯度为零时，该边界被称为绝热壁。因此，对于能量方程的解算需要根据具体情况在域的边界上施加适当的热边界条件。

对于河道中的流动，可以应用各种学术和工业领域感兴趣的热边界条件于河道的壁面，为此考虑了两种类型的热边界条件：

1. 等温壁条件：在这种条件下，河道的壁面保持恒定温度。这意味着壁面的温度在整个计算过程中保持不变。通常在与外界的热交换可以忽略不计的情况下使用这种条件，或者当分析恒定温度对流动的影响时使用。

2. 绝热壁条件：在这种条件下，假设河道壁面没有热流通过。这意味着壁面的法向温度梯度为零。通常在绝热隔热的情况下使用这种条件，或者当分析流动与壁面无热交换时使用。

同时两种类型的热边界条件也可以为狄利克雷条件和诺依曼型热流条件。

（狄利克雷条件）

其中，Tp表示壁面温度，qp表示热流密度向量，qp表示其法向分量，en表示壁面表面的单位法向量。

（诺依曼型热流条件）

结论

为了发展一种适合于粘弹性流体流动控制方程组数学结构的数值方法，提出了一种傅里叶分析来评估二维构型中控制方程组的类型。方程组符号的主要部分表示混合类型，即椭圆/抛物线/双曲类型。

椭圆部分与不可压缩应力（速度-压力耦合）有关，抛物线部分与溶剂分子扩散的影响有关。由方程组符号的主要部分指示的双曲部分在2D中与三个实特征相关。

为了清楚地识别双曲线部分及其实际特征，提出将控制方程组改写为准线性和齐次形式，排除椭圆部分，抛物线部分，非线性项和松弛项，保留动量方程和本构方程。

傅里叶分析表明，拟线性齐次系统是纯双曲型的，因为如果张量被定义为正，系统符号允许五个实特征值。在实践中，准线性系统的双曲性可以在笛卡尔坐标中逐个方向地找到。这与Ai矩阵的本征元素有关，如果这些矩阵的本征值是实的，则保证了双曲性。

一般情况下，对于Oldroyd-B模型、Giesekus模型和PTT模型，其超半群条件可以由构形张量或其相应的等效形式 ci = (1 1-β -ξ)Ma2 ˜cii ≥ 0 的正定条件来表示。在应力方面，超半群条件意味着正常应力不能超过一个特定的极限值：

σii ≤ σ_max。其中 σii 表示正常应力，σ_max 是预先定义的极限值。这个条件确保材料的行为保持稳定，不会导致数值或物理上的不稳定性。

由流变学模型引入的速度-应力耦合是超半群类型，需要使用不同于传统求解不可压缩Navier-Stokes方程的数值方法。而如何保持抛物线和双曲部分之间的一致性，是粘弹性流动数值分析的主要困难。

对方程组的准线性和齐次形式以及初始条件和边界条件的分析，有助于提高问题求解的准确性和效率，可以进一步探索更复杂和多样化的问题，利用不同的数学方法和技巧求解方程组，并将其应用于更广泛的领域中，以不断推动理论和应用的发展。

克服这些困难，不仅有助于工技术应用中的流体设计和优化，还有助于深入了解复杂流体的物理本质和行为。随着技术的不断发展，相信在数值分析领域将会取得更多的突破和进展。