初中几何题-求三角形的一个边

三角形ABC的中线AD和BE相互垂直，已知AC=6， BC=7， 求三角形ABC的AB边长。

解：此题如果从中学角度利用斯图尔特公式方可求解，关于斯图尔特定理参见本人头条的文章斯图尔特定理的证明。

这里把这个公式以及附图关系列在下面供参考。

当P是中点时，该式可以化简。

连接DE，显然DE是三角形ABC的中位线， 如果设DE=x, 那么AB=2x,

在三角形ABC和三角形EBC中利用两次简化的斯图尔特公式可以形成两个含有AD和BE的平方公式，说明除了x,有三个未知数，这需要第三个方程才能求解，这时候回到已知条件AD和BE垂直，T是两条中线的交点，则在三角形TDE中存在勾股定理的等式，因此形成含有x的第三个等式。由于T是三角形ABC的重心（形心），所以有TD=AD/3, TE=BE/3

随后消去BE和AD，就可以求出x, 而AB=2x，具体步骤省略。

最后答案是AB=√17

此题从高中角度解题的话，需要用两次余弦定理和一次勾股定理，读者自己可以考虑。