#头条创作挑战赛#

用不同的方法解不定积分，往往会得到不同形式的结果，老黄在上面的作品中已经提到过了。不过大多数得到的不同形式都是可以互相转化的。应该说是可以轻松转化的。然而下面这个不定积分，用不同的方法解出来的形式却大相径庭，甚至可以说是推出了一个三角函数公式，你说神奇不神奇！

求∫dx/(1+sinx).

解法1：原积分=∫((1-sinx)dx)/((1+sinx)(1-sinx))

= ∫((1-sinx)dx)/((cosx)^2)=∫(secx)^2dx-∫secxtanxdx=tanx-secx+C.

解法2：原积分=∫dx/((sin(x/2)+cos(x/2)^2)

= 1/2*∫dx/((cos(π/4-x/2))^2)=-∫(sec(π/4-x/2))^2d(π/4-x/2)

= -tan(π/4-x/2)+C.

过程都很简单，相信多数小伙伴都能看得懂，老黄就不啰嗦了。最后推出来的三角函数公式：tanx-secx=-tan(π/4-x/2).

可以推导一下这个等式是否成立，因为它们也有可能相差一个常数，而并非相等的关系。即，求：

tanx-secx+tan(π/4-x/2).

原式=sinx/cosx-1/cosx+(sin(π/4-x/2))/(cos(π/4-x/2))

=(sinx-1)/cosx+(cos(x/2)-sin(x/2))/((cos(x/2)+sin(x/2))

=(sinx-1)/cosx+(1-sinx)/cosx=0.

结果证明公式的确是成立的。不过这么冷门的公式，估计我们也用不上，但它毕竟的确是一个公式，还是可以记下来的。

下面再看另一个不定积分，它也有两种解法，得到的结果也可以大相径庭，但也可以非常容易转化，关键看要应用第一个不定积分的哪一个形式。

求∫dx/((sin(2x+π/4))^2).

解法1：原积分= 1/2*∫(d(2x+π/4))/(sin(2x+π/4)^2)

=1/2*∫csc(2x+π/4)dx=-1/2*cot(2x+π/4)+C.

解法2：原积分= ∫dx/(sin(1/2*(4x+π/2))^2)【第一步就有点烧脑，化成这个形式是为了运用cos2t=1-2(sin(t/2))^2的公式】

=2∫dx/(1-cos(4x+π/2))=2∫dx/(1+sin4x)【瞧，这不就是第一个不定积分的形式了】

= -1/2*tan(π/4-2x)+C.【这是运用第一个不定积分的第二种形式，结果就很容易与解1的形式统一起来】

或=-1/2*(tan4x-sec4x)+C【这是运用第一个不定积分的第一种形式，结果就非常不一样了】

假如有两个非常轴的人学高数，解这样的题，用了不一样的方法，得到两个差异这么大的结果，你猜他们会不会打起来呢！