一部《流浪地球》让许多人知道了引力弹弓和洛希极限，但大多数人是知其然不知其所以然的，所以今天我们来补补课，复习一下什么是引力弹弓，以及它到底能干些啥。

弹弓是个好玩的东西，我们小时候都玩过，拿来打麻雀，有时也打人。可惜现在的孩子们是极少有机会玩了，因为易伤人、有危险性，不许玩。弹弓的制作可繁可简，拾一截树杈儿在两头绑上橡皮筋就是一把弹弓，可以用来弹射废纸片折成的“子弹”；而那些用粗铁丝制作，并且中间配有皮兜的弹弓自然是“土豪级”的，必然会收获小伙伴羡慕的眼神和很长的口水。

一把弹弓

当然，本文中说的弹弓与孩子们的玩具不是一回事，毕竟你不可能用橡皮筋将卫星或别的什么航天器发射到太空中去，只是它们在力学上存在某些近似，所以被形象化地称为“引力弹弓”。其实在天体力学里它有一个标准名称叫“重力辅助”。

航天发射是力的科学

当我们要向另一颗星球发射航天器，通常有两种方法：一种是使用蛮力，用大推力的火箭和大量的燃料把航天器直接推上去；另一种办法是使用“巧力”，充分利用每一个星球对航天器的万有引力，包括重力辅助作用来为航天器加速。

尽管马斯克说火箭的燃料很便宜，但火箭发动机的推力毕竟是有限的，你携带的燃料越多就需要越强大的发动机，同时为了多携带1吨燃料上天你需要燃烧100吨燃料，建造更大的火箭意味着额外增加更多重量和烧更多的钱，这是一个死循环。因此单靠蛮力发射火箭是行不通的，我们还需要充分利用力学原理来使“巧力”。

用于深空发射的火箭都非常庞大，但这并不足够

在航天发射时，火箭升空后通常会向东转弯。这是因为地球自转方向是自西向东旋转，同时地球绕太阳运行的方向也是自西向东，当火箭向东转弯时，它可以从地球获得约30千米/秒的额外速度。这是地球赤道表面自转线速度（0.466千米/秒）与地球绕太阳公转速度（29.78千米/秒）的和。

我们知道当一枚火箭的速度大于11.2千米/秒时，它可以逃离地球，这被称为第二宇宙速度。但第二宇宙速度并不足够让火箭飞得很远，因为太阳的引力十分巨大，火箭需要达到16.7千米/秒（第三宇宙速度），它与地球的速度叠加才能从地球逃离太阳。

航天器在太空向外飞行时，由于受太阳引力的影响，它的速度会不断下降，最后还是要被太阳拉回来，这就需要航天器不断加速来加以摆脱。前边说了，航天器携带的燃料有限，我们需要它从外部“借力”，这就是接下来要谈的重力辅助。

弹性碰撞的力与速度关系

为了使复杂的概念更加容易理解，我们先来举个例子。假设一个熊孩子在铁路边向一辆高速驶来的列车车头扔皮球，结果会怎么样？有惊无险，皮球撞到列车后会反弹回来。这在力学上被称为弹性碰撞。

皮球撞击火车后的速度变化

皮球反弹回来的速度会是多少？这是一个有意思的问题：

假设熊孩子扔出皮球的速度是30千米/小时，火车从对面驶来的速度是50千米/小时，火车司机看到皮球飞来的速度是多少？没错，80千米/小时，这是皮球相对于火车的运动速度。

而当火车撞击皮球时，它会将皮球反弹出去，火车司机看到皮球的反弹速度是80千米每小时（这是它撞击火车的速度）；

同时火车向前的速度是50千米/小时，火车将自己的动量传给了皮球，使皮球加速，这时候反弹回来的皮球相对于地面的速度是130千米/小时。

弹性碰撞与二者的速度以及质量有关系，很显然，你向一个骑自行车的人踢足球的效果会很不一样。

当然，朝火车扔任何东西都是犯法的。我们还可以从身边找到许多类似的弹性碰撞的例子，比如我们打球的时候，球与球拍之间就是弹性碰撞，球拍将动能传递给球，使它变向并加速。

不等质量弹性碰撞时的速度变化

重力辅助的实际应用

说起引力弹弓，可能是联想到孩子们弹弓的缘故，有些人喜欢用下面的图来表示。这张图看起来没问题，实际上它是违背了力学原理的。

错误的引力弹弓图

事实上，根据牛顿理论，在正确的重力辅助应用中，航天器的运行轨迹往往是一条双曲线轨道，其轨道偏心率需要大于1，否则航天器便不能逃脱行星引力，引力弹弓变成了重力陷阱。

当e>1时，航天器才有可能逃离行星F的引力作用

航天器在太空中不能利用弹性碰撞来加速，它会坠毁在行星表面上，所以航天器利用的是行星万有引力来实现加速或者改变运动轨道。

为了获得飞出太阳系的最大动能，旅行者1号先后利用了木星与土星的引力来进行弹弓操作，从而获得了完全摆脱太阳引力的能量。

旅行者1号的运行轨迹

旅行者2号先后利用木星、土星和天王星来进行重力加速，但为了观测海王星最大的卫星泰坦，它选择越过海王星的北极。这使得旅行者2号获得了黄道平面外的加速度，同时使它与太阳的相对速度下降。

旅行者2号的运行轨迹

下图是旅行者2号在经历4次引力弹弓后，相对于太阳的速度变化曲线。

旅行者2号速度变化曲线

细心的你也许发现，在上面旅行者2号的速度变化曲线中，每一次重力加速之后，航天器都会出现大幅度的减速现象。这是为什么呢？

这是因为当航天器接近行星时，受行星引力的影响，航天器会加速；而当它飞越之后，行星的重力势阱反过来会牵引航天器，使其很快减速。在航天器终于摆脱行星引力场时，太阳的引力会作用于航天器，令它的速度一点点地慢下来。这就是为什么旅行者2号在海王星附近一度达到29千米/秒，现在相对于太阳的速度却只有不到15千米/秒的原因。

行星的重力势阱作用于航天器，改变其速度

为了获得更大的逃离速度，航天器需要启动它的推进器。根据Oberth效应，航天器在较高速度下使用发动机会比在较低速度下使用产生更大的机械能，也就是说，当航天器在它最接近行星的地方开启加力，可以更有效率地提高飞行速度。当然了，这同时需要航天器拥有大推力的火箭发动机，像最新的电推发动机是没有用处的，它们的推力太小，需要很长的时间才能一点一点地把速度加上去。

轨道选择是重力辅助的决定性因素

行星绕太阳公转，它在公转轨道上有一个向前的速度。这就好比熊孩子向火车扔皮球，当火车停止时，皮球反弹回来的速度就是他扔出去的速度，而当火车快速迎面而来，皮球的反弹速度要快得多。

航天器利用行星进行轨道加速也是利用了同样的原理，它需要以一定的角度进入行星的引力范围才能很好地利用行星的重力进行弹弓弹射。这涉及非常复杂的计算，我们将其用下面的动画图片形象化地表现出来：

重力辅助的各种轨道运用

在上面的动图中，黑点代表行星的运动轨迹，蓝色点代表航天器。为了获得最大的引力加速度：

首先需要在正确地时间以合适的角度与行星相遇；其次，从后方接近行星；第三，航天器需要与行星尽量接近以获得更大动能；第四，不能过于接近行星，否则航天器会坠毁在行星上、受行星大气阻挡而减速，或者被行星的潮汐力扯成碎片。最后，永远不要试图依靠太阳来做引力弹弓，因为在太阳系里太阳是静止的，你只会改变方向而不会有任何加速（如上图e），离得太近了还会烧毁。引力弹弓只能用于加速吗？

并不是。

在太阳系内部，太阳不能加速航天器。并且当你绕前接近行星，或者迎着行星运行轨道接近行星时，航天器的速度会迅速下降甚至调头运动（如上图d和g）。

1990年，NASA发射了ESA宇宙飞船尤利西斯（Ulysses），用它来研究太阳的极地地区。为了进入越过太阳两极的极地轨道，航天器必须消除它从地球围绕太阳绕行的轨道继承的30千米/秒的速度，并获得使太阳在两极之间绕轨道运行所需的速度。这单靠火箭的推进系统是不可能做到的。科学家们想到了利用木星做引力弹弓，最终成功将尤利西斯送入了垂直于黄道面的环太阳极地轨道。

尤利西斯利用木星进入环太阳极地轨道

总结：

引力弹弓是重力辅助效应的形象化提法，它的目的是利用行星引力改变航天器的速度和运行轨迹，从而完成相应的科学任务。

引力弹弓在星际探索过程中被广泛运用，一方面人们可以通过科学的计算节省燃料和航天发射费用，同时也可以用尽量小的火箭将尽量大的航天器送到其它星球。比如说印度就是利用地球的重力作用一点点地加速他们的航天器，并最后将“月船2号”送上了月球轨道。

印度“月船2号”多次利用地球的引力弹弓

引力弹弓的有效实施取决于极其精确的测量和周密计算，失之毫厘必将谬以千万里，最后连航天器的影子都找不着。