要培养运算能力，就要掌握简化立体几何运算的方法，那么怎样简化立体几何运算呢？

一、一般问题特殊化

有些选择题或填空题，若根据题意直接解答运算很繁，把一般问题特殊化，可简化运算过程。

例1. 正四棱锥相邻两侧面形成的二面角为，则的范围是

A.

B.

C.

D.

解：如图1，正四棱锥S－ABCD，过A作AE⊥SB于E”，连CE。

图1

由三角形全等容易证得∠AEC是二面角的平面角。考虑特殊位置V，当S无限接近O点时，接近π；当S距平面ABCD无限远时，α接近

，α的范围是。故选D。

二、整体估算

有些立体几何选择题，若直接解答十分繁杂，若采用整体估算则十分简单。

例2. 如图2，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，

，EF与面ABCD的距离为2，则多面体EF－ABCD的体积是

图2

A.

B. 5 C. 6 D.

解：连结EB、EC得四棱锥E－ABCD，它的高h＝2，SABCD＝9，四棱锥E－ABCD的体积

。

因为

，即

。故应选D。

三、用公式求二面角

一个平面上的图形面积为S原，它的另一个面上的射影的图形面积为S射，这两个面的夹角为α，则有

，即

。利用这公式求二面角的大小，不需要找二面角的棱确定二面角的平面角，显然可以简化运算。

例3. 正方体

中，E是BC的中点，求平面

与平面ABCD所成二面角的大小。

解：如图3，连结DB、DE，因为

都垂直于平面ABCD，则△DBE是△D1B1E在平面ABCD上的射影。

图3

设正方体的棱长为1，易知

。

所以

。

设所求二面角为α，则

，故α＝

。即平面与平面ABCD所成的二面角为。

四、运用三棱锥的体积求点面距离

求点面距离的一般思路是过点向平面作垂线，确定垂足位置和表示距离的线段长，这样作解答难，运算繁。如果构造三棱锥，把所求距离转化为三棱锥的高，通过三棱锥的体积求点面距离，可简化运算。

例4. ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离。

解：如图4，取EF的中点O，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B－EFG。

图4

设点B到平面EFG的距离为h，BD＝

，EF

，CO＝

。

。

而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。由

，得

·

GC，所以解得

。

故点B到平面EFG的距离是

。

构造以点B为顶点，△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。

五、变换图形的位置

根据待解题目给出图形求解，有时运算很繁。若变换图形的位置，便于求解，可简化运算。

例5. 已知三棱锥V－ABC的三个侧面VAB、VBC、VAC互相垂直，且其面积依次为6、4、3。求此三棱锥的体积。

图5

解析：根据已知条件用左图求三棱锥V－ABC的体积，解答难，运算繁。若改变为右图，求三棱锥A－VBC的体积，可简化运算。

因为平面VAB、VBC、VAC两两互相垂直所以VA、VB、VC互相垂直，从而VA⊥平面VBC。

设VA＝x，VB＝y，VC＝z，则xy＝12，yz＝8，zx＝6。三式相乘，得

，因

，所以

。

。

六、运用分割法

求某种几何体的体积，直接求解运算很繁。若注意用分割法，则可简化运算。

例6. 如图6，三棱锥P－ABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝l，PA、BC的公垂线段ED＝h，求三棱锥P－ABC的体积。

图6

解：连BE、EC。因为PA⊥BC，PA⊥ED且BC

ED＝D，所以PA⊥平面BEC。

因

，所以

，

·PE＝

。

七、运用等积代换

有些求体积问题，根据公式直接求解，运算很繁，又需要许多证明，若通过等积代换，可简化运算。

例7. 斜三棱柱的一个侧面面积为S，这个侧面与它的对棱的距离为a，求这个棱柱的体积。

解：如图7，设斜三棱柱

中，侧面BB”C”C面积为S，与它的对棱A”A间的距离为a。

图7

连C”A、C”B，则有

。

调查顶点和底面，有三棱锥A－BC”C，于是

。

因为A”A∥B”B，B”B

平面BB”C”C，所以A”A∥平面BB”C”C。

由此可知，A”A到侧面BB”C”C的距离a等于三棱锥A－BC”C的高。

因为

所以

。

所以

。

八、倍角α为自变量使问题三角化

涉及立体几何的最值问题，若设线段的长度为自变量常出现根式运算；如果设角为自变量，可避免根式运算，简化解题过程。

例8. 如图8，利用仓库两墙互相垂直的墙角，把一块长方形木板的两条边紧靠在两堵墙上，使地面、木板和两堵墙围成一个直三棱柱，若已知木板长为a，宽为b（

），问如何围法可使三棱柱容积最大？

图8

解：设∠ABC＝α（

），直三棱柱的体积为V，则有：

当且仅当

，即

°时，V取最大值

。

容积的大小不仅与角α有关，还与木板是a边还是b边着地有关，因此还有

当且仅当，即α＝45°时，体积V”取得最大值

因为，所以

。

由此可知，当长方形木板较长边着地，并且使围成的直三棱柱的底面为等腰直角三角形时，所围成的直三棱柱容积最大。

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