导读：本文用图的形式介绍机器学习中特征降维的基本思想和方法。阅读完本篇文章，您将很容易理解PCA降维的基本思想和方法。

一、为什么要进行特征降维？

在机器学习中，一些数据集的特征数量很多，达到几千维甚至几万维。特征数量太多会导致训练模型所花费时间很长。这就需要对特征进行降维，剔除次要特征，保留主要特征。然后使用主要特征训练分类或聚类模型。

二、什么是特征降维？

特征降维实际上就是把N维空间的样本点投影的一个低维的R维空间(R<N). 例如，我们最熟悉的是将三维空间的点投影到二维平面(三维降至二维)或某个坐标轴(三维降至一维)，或者将二维平面的点投影到某个坐标轴(二维降至一维). 下面的图展示了一个将二维平面的点投影到x轴的情况，它实现了将二维特征降至一维。

图1 二维空间的点投影到一维坐标轴

三、保留或剔除特征的原则是什么？

那么问题来了，降维时，什么样的特征应该被保留，什么样的特征可以剔除掉？这要看特征被投影后的分散程度。从上面的图可以看出，二维空间的点投影到一维的x轴以后，点不那么分散了。这意味着降维后信息有所丢失。一种极端的情况如下图所示，二维平面的点投影到x轴后完全重合，变成了一个点。

图2 二维平面的点投影到x轴后重合

这导致降维后该特征对样本的区分能力完全丧失，因为所有的样本降维后都变成了相同的点。如同生活中我们很难区分一对双胞胎一样，因为他们的身高、长相、穿衣、发型等特征非常相似，几乎完全一样。

反过来说，如果高维空间的样本点投影到低维空间后仍然比较分散，如同第一张图一样，则降维后的特征仍然具有样本区分能力。因此，我们很自然地想到，如果降维后的某个特征是分散的，则它对区分样本是有用的；降维后的样本点越分散，它的样本区分能力越高。因此，将N维空间的样本投影到R维(R<N)后，需要考察R维特征在各自维度的分散程度。

这个分散程度可以用方差来度量。方差越大，样本越分散；反之则越集中。如果降维后的R维特征在各个维度都比较分散，即方差比较大，则这些特征对样本的区分能力就比较好。这就是一个成功的降维。

四、特征降维的本质是什么？

需要说明的是，特征降维不一定是要把N维空间的点投影到其自身的R个坐标轴组成的低维空间上。看下面两张图，图3是把二维平面的点投影的横轴后统计绘制的直方图。图4是投影到斜率k=2的直线上后统计绘制的直方图。

图3 二维平面内的点在x轴投影的直方图

图4 二维平面内的点投影到斜率为2的直线的直方图

显然，图4中投影到斜率k=2的直线上后，投影点更为分散，意味着它对样本的区分能力比投影到横轴的要高。下面的图5中，绘制了把二维平面的点投影到斜率为k=-0.5的直线上统计计算的直方图。可以看出，投影点更集中了。它是三个图中最集中的一个，它的样本区分能力也就最差。

图5 二维平面内的点投影到斜率为-0.5的直线的直方图

因此，对N维特征降维要考虑的是，如何找到一个R维的坐标系，使得在所有R维坐标系中，该坐标系里的投影点最为分散。

因此，从N维空间到R维空间的特征降维，其实就是寻找一个最优坐标系，使得N维空间的样本点投影到R维空间后，投影点在该R维坐标系里最为分散的过程。这就是PCA降维的思想。

需要说明的是，在大于三维的空间中，我们不好说某两个坐标轴垂直。而用正交表示。所谓正交，表示一个坐标轴上的所有点在另外一个坐标轴的投影点全部重合，其实质还相当于二维或三维空间的垂直。另外，为区分原坐标系坐标轴的概念，把任意R个正交的维度称为正交基。可以认为正交基是一个广义的坐标系概念。

因此，N维特征降至R维的本质就是寻找一组R个最优正交基，使得高维空间的样本投影到该组正交基后，投影点是在所有R维正交基里最为分散的。

五、特征降维如何实现？

幸运的是，寻找最优R维正交基的工作已经有人替我们做了。我们只需要把这些方法拿来用就行。例如机器学习库scikit learn里就提供了PCA()类，用户只需指定要降至的维度R，就可以实现PCA降维。下面图6展示了某数据集的20个特征。图7是将其PCA降维至8维后，各个维度投影点的抖动散点图。

图6 某数据集的20个特征抖动散点图

图7 PCA降至8维后的抖动散点图

可以看出，PCA降维后，将投影后特征按照分散程度(方差)进行排序，保留了前8个最分散的特征，而把其余特征剔除。

六、如何绘制倾斜直方图和抖动散点图？

前文我们使用了倾斜直方图来说明将样本点投影到任意斜率直线后，投影点的分散程度。该倾斜直方图的计算和绘制方法是作者自己开发的。使用了Python和Maplotlib库。抖动散点图的绘制使用了seaborn库，感兴趣的朋友可以私信交流。

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