如何判断投资者对风险的主观态度，也就是说当面对风险的时候，人们是风险厌恶的，还是风险喜好的。为了判断投资者对风险的主观态度如何，我们需要引入“公平赌博”的概念，根据投资者是接受还是拒绝公平赌博，来判断投资者是风险喜好的还是风险厌恶的。

公平赌博的定义有两种表达：

第一，它是指不改变投资者当前期望收益的赌局。举个例子，如果一个赌博，有50%的概率得到十元，有50%的概率失去10元。那么这个赌博的期望收益是0，则投资者的赌博期望收益为零，我们说这个赌博是公平赌博。用式子表示为：一个赌局的随机收益为ε，它变化均值为E（ε）=0。也就是说，公平赌博是在平均意义上，不改变投资者初始财富的赌博。

第二个表达:如果赌博的期望收益是一个正数，投资者在参与这个赌博前需要支付和赌博期望收益相等数额的入门费。例如有一个赌博，50%的概率得到20元，50%的概率失去10元。则赌博的期望收益为5元。那么要使赌博成为公平赌博，则需找投资者收取五元入门费。用式子表示：考虑一个赌博，它以概率p有一个正的回报h1，以概率（1-p）有负收益h2。如果它是一个公平的赌博的话，必须满足ph1+(1-p)h2=0。这里的p和1-p是两种状态发生的概率，是大于零的，要保证是公平赌博，h1和h2必然符号相反，一个为正，一个为负。

如果在某场博弈中，某一局中人所赢钱的数学期望值大于零，此人应当先交出等于期望值的钱来，才可以使得这场赌博变得公平。或者说公平的赌博结果的预期只应当和入局前所持有的资金量相等，即赌博的结果从概率平均意义上应该是不输不赢。概率上的不输不赢是指从事前来看的。

公平赌博无论是哪一种表达方式，都要求不能改变投资者的初始财富。

一位投资者如果拒绝公平赌博，由于公平赌博是平均意义上不改变初始财富的，他拒绝的一定不是财富的增加或者是减少，他拒绝的一定是风险。因为参加一个公平赌博和不参加赌博来比较的话，公平赌博虽然它的期望收益率是0，而不参加赌博它的收益率也是0，但是我们说这两个零是不一样的。

公平赌博的零：是一个有风险的零（概率意义上、平均来讲、事前的零）

不参加公平赌博的零：是一个没有风险的、确定性的零

如果一个投资者拒绝公平赌博，他拒绝的一定是风险。当这个投资者是风险厌恶的投资者的时候，他对风险的主观态度就是风险厌恶的。

风险厌恶：当一个个体不愿意接受或者对任何公平的赌博都无所谓的时候，他通常被认为是风险厌恶的。严格风险厌恶是指这个个体不愿意接受任何公平的赌博。

根据公平赌博的概念：

如果一个投资者的初始财富为w0，

以概率p，财富变为w0+h1，

以概率1-p，财富变成w0+h2，

根据公平赌博的概率，

必然有ph1+（1-p）h2=0.

看下面式子，左边是投资者不参加公平赌博的效用（初始财富带来的确定性的财富的效用），右边是参加赌博的期望效用。

u(W0)(>)≥pu(W0+h1)+(1-p)u(W0+h2)

如果这个投资者是风险厌恶的，那么左边（不参加公平赌博）带来的效用会大于右边参加公平赌博带来的期望效用，所以投资者会拒绝参加公平赌博。

进一步，我们将风险厌恶投资者的表达式改写成下面的形式：

w0=ph1+(1-p)h2

根据这个表达式我们可以看出，满足这个不等式的效用函数形式，是一个一阶导数大于零，即投资者对于财富是非满足性的，财富越多投资者效用越高。同时，二阶导数小于零，也就是说这个效用函数是边际效用递减的效用函数，即效用函数相对于横轴来说是凹向横轴的，只有具备这样数学性质的效用函数，就是风险厌恶者的效用函数。如果这个式子不允许取等号，那就是严格的风险厌恶投资者。

上面的图横轴表示投资者的财富水平，纵轴表示投资者的效用，横轴上的w0是投资者的初始财富，公平赌博的两种状态，p对应的横轴上的财富水平是w0+h1，1-p对应的横轴上的财富水平是w0+h2。如果投资者不参加公平赌博，得到的效用是由横轴上的w0对应的效用水平的高度，即这个确定的财富水平带来的效用u(w0)。如果投资者参加公平赌博，得到的就是一个期望效用，期望收益计算如下式：pu(w0+h1)+(1-p)u(w0+h2)。

横轴上的w0是两个端点w0+h1和w0+h2的一个线性凸组合。所谓线性凸组合：w0=p(w0+h1)+(1-p)(w0+h2)，即以p和1-p为系数，乘以两个端点的值，p和1-p和是为1的。w0就是这两端两个财富值的一个线性凸组合。

由于三根竖直的虚线是平行的，我们可以得到w0所对应的A点也是它的两个端点B和C的线性凸组合，同样以p和1-p乘以B和C对应的纵坐标。因此A点所对应的高度就是pu(w0+h1)+(1-p)u(w0+h2)，即纵轴上D点的高度。

当投资者是风险厌恶投资者的时候，如果想让投资者拒绝公平赌博，那么E点的高度就要高于D点的高度，E点对应的是不参加这个公平赌博确定性的收益带来的效用水平，而D点是参加公平赌博带来的期望效用水平。只有E点的高度高于D点的高度的时候，投资者才会拒绝这个公平赌博。如果投资者是风险厌恶的，必然有下面的这个表达式成立：u(p(w0+h1)+(1-p)(w0+h2))(>)≥pu(W0+h1)+(1-p)u(W0+h2)

参加赌博的期望收益是w0，但是是有风险的w0，不参加赌博是一个确定的w0，所以不参加赌博确定的w0，带来的效用会更高一些。

如果投资者是风险喜好的，那么他会接受公平赌博，刚才的不等式的符号就正好相反了。不参加公平赌博带来的确定性的效用要小于参加公平赌博带来的期望效用，所以风险喜好的投资者会选择参加公平赌博。u(E(W))>E(u(W))

如果等式两边相等的话，说明投资者对风险呈无所谓的态度，投资者的效用函数就是一个线性的效用函数。

在现实中我们发现，随着投资者财富水平的提高，会变得越来越不厌恶风险。甚至当非常富有的时候，变成了风险喜好的投资者。

上面的表格表示，当投资者财富水平较低的时候，它是一个凹向横轴的函数，是风险厌恶的投资者，它的二阶导是小于零的。而随着财富水平的提高，变得对风险持无所谓的态度，变成了一个风险中性的投资者， 这里的效用函数就变成了一个线性的效用函数。随着财富水平的再进一步的提高，投资者可能就变成了一个风险喜好的投资者，变成一个二阶导数大于0的效用函数了。

在现实中我们会发现，同样一个财富水平的投资者他既会买彩票又会买保险，我们知道买彩票是一个风险喜好者的行为，而买保险是风险厌恶者的行为。