数学书中没有的中考常用定理及证明

1、角平分线定理

△ABC中，AD为角平分线，则

.

证明：过点D作DE⊥AC，DF⊥AB:

因为

，而AD为角平分线，DE=DF，所以

.

2、中线定理

△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2+AC2=2(AD2+BD2).

证明：过点A作△ABC的高AH：

在Rt△ABH与Rt△ACH中，利用勾股定理得：AB2+AC2=AH2+BH2+AH2+CH2=2AH2+BH2+CH2，BH=BD-HD,CH=CD+HD=BD+HD(D为中点，CD=BD)，利用等量代换，得AB2+AC2=2AH2+(BD-HD)2+(BD+HD)2=2(AD2-HD2)+(BD-HD)2+(BD+HD)2=2(AD2+BD2).

3、梅涅劳斯定理

如图点E为△ABC的边AB上任意一点，点D为BC延长线上任意一点，连接ED，交AC于点F，则

.

证明：过C作CG‖EF，交AB于点G：

4、塞瓦定理

D、E、F为△ABC三条边上的点，且AE、BF、CD交于一点，则

.

证明：过A作BC平行线,交BF和CD的延长线于点M、N.

△AMG∽△BEG,所以

，△ANG∽△CEG，所以

，得

,

.

,

,

.

5.燕尾定理

△ABC中，AF、BD、CE相交于点P，则

,

,

.

证明：

,

, 所以

，

.

同理，可证得另外两个等式.

6、西姆松定理

点P为△ABC外接圆上一点，PE⊥AB,PF⊥AC,PD⊥BC,则D、E、F共线.

证明：连接PC、PA：

因为PF⊥AC,PD⊥BC,所以P、F、D、C共圆，∠DFP+∠DCP=180°，又P、A、B、C四点共圆，∠BAP+∠DCP=180°，所以∠DFP=∠BAP.PE⊥AB,PF⊥AC,P、F、A、E共圆,∠EFP=∠EAP.∠EAP+∠BAP=180°,所以∠EFP+∠DFP=180°,D、E、F共线.

7、相交弦定理

弦AC与BD相交于点P，则PA•PC=PB•PD.

证明：连接AB、CD：

∠APB=∠DPC，∠BAP=∠CDP，所以△ABP∽△DCP， ,即PA•PC=PB•PD.

8、弦切角定理

PA为⊙O切线，则∠PAB=∠ACB.

证明：连接AO交⊙O于点D，连接BD:

因为PA为⊙O切线，所以OA⊥PA，∠PAB+∠BAD=90°.AD为直径，∠ABD=90°,所以∠BDA+∠BAD=90°,∠PAB=∠BDA.又因为∠BDA=∠ACB,所以∠PAB=∠ACB.

9、切割线定理

PQ为⊙O切线，则PQ2=PA•PB.

证明：连接QA、QB：

在△PAQ与△PQB中，根据弦切角定理，∠PQA=∠PBQ,∠P=∠P，所以△PAQ∽△PQB，

,即PQ2=PA•PB.

10、蝴蝶定理

⊙O中，弦CD与EF相交于点P,P为弦AB中点，EC与DF交弦AB于点M、N，则点P为MN中点.

证明：作C、D关于直线OP的对称点H、G,连接HG、NH、FH、GD:

根据垂径定理，OP垂直平分AB，结合C、H关于OP对称，得∠APC=∠BPH.GD‖AB,∠G=∠BPH.G、D、F、H四点共圆，∠G+∠DFH=180°，所以∠BPH+∠DFH=180°，得P、N、F、H四点共圆，∠PFN=∠PHN.又因为∠PFN=∠C，所以∠PHN=∠C,再结合PC=PH，得△PCM≌△PHN,PM=PN.