关于快速幂

其实快速幂相关的问题，是参加算法竞赛（NOI、ACM等）的小伙伴必须要掌握的一小块基础内容。当然，就算你不打算参加算法竞赛，个人觉得只要你是一名程序员，就必须要掌握快速幂算法。

在《计算机程序设计艺术》一书中就有提到快速幂算法，此书的英文名是The Art of Computer Programming，简称TAOCP。

Knuth前辈是在计算机领域成就颇丰的知名科学家，是著名的KMP算法的发明人之一，在1974年获得“计算机领域的诺贝尔奖”：图灵奖（当年他才36岁）。目前TAOCP已经出版了第1、2、3、4A卷，按照计划，还有第4B、5、6、7卷未出版。第一卷首发于1968年，Knuth前辈今年是82岁高寿，据说他计划在105岁之前完成这部巨著。

关于TAOCP，微软创始人Bill Gates曾说过

If you think you're a really good programmer… read (Knuth's) Art of Computer Programming… You should definitely send me a resume if you can read the whole thing.

大概意思是：如果你认为自己是一位非常优秀的程序员，那就应该阅读Knuth的TAOCP；如果你能读懂全部内容，可以直接给我发送一份简历。据说Knuth前辈的言辞更加犀利：看不懂就别当程序员了！不过TAOCP对于新手来说，阅读难度的确比较大，书中的所有示例都使用了Knuth前辈自创的MIX汇编语言。

阅读本文之前的提醒

要想彻底看懂本文，有几个前提条件

熟悉算法中的2个基础概念：时间复杂度、空间复杂度如果你压根没听过这2个概念，说明你的算法基础完全为0，真的没有在开玩笑！可以向公众号发送复杂度获取相关教程熟悉二进制和十进制的转换如果连这个都不熟悉的话，那你的编程底子就真的需要好好补补啦可以向公众号发送进制获取相关教程熟悉常见的位运算操作n & 1的结果是n最低二进制位的值，也可以用于判断n的奇偶性求正整数n / 2，可以用位运算取代：n >> 1如果不明白上述操作的原理，可以向公众号发送位运算获取相关教程什么是幂（Power）？

众所周知，x的n次幂，是指x的n次方，也就是n个x相乘，比如2的4次幂就是2 * 2 * 2 * 2。

为了简化描述，后面x的n次幂，我就简化为x ^ n（本文中的 ^ 并不是按位异或的意思）

那如何通过编程求幂？假设只考虑x、n是整数且n大于等于0的情况，最容易想到的方法如下所示

int power(int x, int n) {    int result = 1;    while (n-- > 0) {        result *= x;    }    return result;}

这种方法的时间复杂度是O(n)、空间复杂度是O(1)

什么是快速幂？

所谓快速幂，就是用效率更高（时间复杂度更低）的方法求幂，可以将时间复杂度优化至O(logn)。

这里介绍2种求解方法：递归、非递归

一，递归

根据上图中的等式，不难写出以下代码

int fastPower(int x, int n) {    if (n == 0) return 1;    int result = fastPower(x, n >> 1);    result *= result;    return (n & 1) == 0 ? result : result * x;}

这个方法的时间、空间复杂度都是O(logn)。

那如何分析出这个方法的复杂度呢？

如果你的算法功底比较薄弱，可以代入特定值作一个大概的分析，比如当n为16时，方法的递归调用过程如下图所示

不难看出，每次调用时，n的规模都减半，所以时间和空间复杂度都是O(logn)

如果你的算法功底还行，那就可以用更专业的方法去分析它的复杂度（没有一定的算法基础，可能会看不懂）

这其实是典型的应用分治策略的算法假设T(n)是数据规模为n时的时间复杂度，不难得出递推式：T(n) = T(n / 2) + O(1)最后通过主定理（Master Theorem）可以直接得出结论：T(n) = O(logn)

二，非递归

我们以求3 ^ 21为例子，来分析一下非递归的代码应该怎么写。

首先21的二进制形式是10101

不难得出以下结论

3 ^ n（n为2、4、8、16）都可以由3 ^ 1累乘出来每一个3 ^ n都有对应的二进制位3 ^ 1对应二进制位的值是1，其实是二进制10101的最后1位3 ^ 2对应二进制位的值是0，其实是二进制1010的最后1位3 ^ 4对应二进制位的值是1，其实是二进制101的最后1位3 ^ 8对应二进制位的值是0，其实是二进制10的最后1位3 ^ 16对应二进制位的值是1，其实是二进制1的最后1位如果3 ^ n对应二进制位的值是0，就不用乘进最终结果比如3 ^ (8 * 0)、3 ^ (2 * 0)因为它们最终的值都是3 ^ 0，也就是1如果3 ^ n对应二进制位的值是1，就需要乘进最终结果比如3 ^ (16 * 1)、3 ^ (4 * 1)、3 ^ (1 * 1)

所以，综合以上种种结论，可以总结出以下解题步骤

利用3 ^ 1，不断累乘出3 ^ n（n为2、4、8、16）每当累乘出一个3 ^ n，就查看其对应二进制位的值是1还是0，来决定是否要将它乘进最终结果

int fastPower(int x, int n) {     int result = 1;     while (n != 0) {         if ((n & 1) == 1) {             result *= x;         }         x *= x;         n >>= 1;     }    return result;}

代入3和21，fastPower(3, 21)的执行流程如下：

------第1轮while循环-----

第4行代码n的二进制是10101（十进制是21）x = 3 ^ 1, 其对应二进制位的值是1（n的最后一个二进制位）所以需要执行第5行代码将x乘进最终结果result = 3 ^ 1第7行代码x = (3 ^ 1) * (3 ^ 1) = 3 ^ 2第8行代码n右移1位，其二进制变成了1010（对应的十进制是啥？不重要！！！）

------第2轮while循环-----

第4行代码n的二进制是1010x = 3 ^ 2, 其对应二进制位的值是0（n的最后一个二进制位）所以不需要执行第5行代码不需要将x乘进最终结果result = 3 ^ 1第7行代码x = (3 ^ 2) * (3 ^ 2) = 3 ^ 4第8行代码n右移1位，其二进制变成了101（对应的十进制是啥？不重要！！！）

------第3轮while循环-----

第4行代码n的二进制是101x = 3 ^ 4, 其对应二进制位的值是1（n的最后一个二进制位）所以需要执行第5行代码将x乘进最终结果result = (3 ^ 1) * (3 ^ 4)第7行代码x = (3 ^ 4) * (3 ^ 4) = (3 ^ 8)第8行代码n右移1位，其二进制变成了10（对应的十进制是啥？不重要！！！）

------第4轮while循环-----

第4行代码n的二进制是10x = 3 ^ 8, 其对应二进制位的值是0（n的最后一个二进制位）所以不需要执行第5行代码不需要将x乘进最终结果result = (3 ^ 1) * (3 ^ 4)第7行代码x = (3 ^ 8) * (3 ^ 8) = 3 ^ 16第8行代码n右移1位，其二进制变成了1（对应的十进制是啥？不重要！！！）

------第5轮while循环-----

第4行代码n的二进制是1x = 3 ^ 16, 其对应二进制位的值是1（n的最后一个二进制位）所以需要执行第5行代码将x乘进最终结果result = (3 ^ 1) * (3 ^ 4) * (3 ^ 16)第7行代码x = (3 ^ 16) * (3 ^ 16) = 3 ^ 32第8行代码n右移1位，其二进制变成了0

------最后-----

由于n = 0，所以退出while循环最终result = (3 ^ 1) * (3 ^ 4) * (3 ^ 16)复杂度分析每执行一次while的循环体，n >>= 1, 会导致n的值减半所以时间复杂度：O(logn)、空间复杂度：O(1)

Leetcode

Leetcode上的第50号题50.Pow(x, n)，刚好就可以用今天讲解的快速幂算法。以下是我的代码实现

// 递归 double myPow(double x, int n) {    if (n == 0) return 1;    if (n == -1) return 1 / x;    double half = myPow(x, n >> 1);    half *= half;    return ((n & 1) == 1) ? half * x : half;}// 非递归double myPow(double x, int n) {    long y = (n < 0) ? -((long) n) : n;    double result = 1.0;    while (y > 0) {        if ((y & 1) == 1) {            result *= x;        }        x *= x;        y >>= 1;    }    return (n < 0) ? (1 / result) : result;}

需要提醒的是

这里我用的编程语言是Java，大家可以根据自己熟悉的编程语言，对一些语法细节作出相应的调整Leetcode上的n可能是个负数，所以上面的代码针对负数的情况作了一些处理