皮埃尔·德·费马，Pierre de Fermat，（1601年8月17日～1665年1月12日），法国律师和业余数学家。他在数学上的成就不比职业数学家差，他似乎对数论最有兴趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。被誉为“业余数学家之王”。

有很多与费马有关的数学概念和定理，列举如下，感受“业余数学家之王”的魅力和成就。

费马-加泰罗尼亚猜想（Fermat–Catalan conjecture）

在数论中，费马-加泰罗尼亚猜想是费马大定理和加泰罗尼亚猜想的推广，因此得名。猜想表明方程

只有有限多个解(a,b,c,m,n,k)具有不同的三元数组，其中a,b,c是正互质整数，m,n,k是满足

费马-欧拉定理（Fermat–Euler theorem）

在数论中，欧拉定理（也称为费马-欧拉定理或欧拉总定理）指出，如果n和a是互质的正整数，并且是欧拉的总函数，则a的幂与1 模一致，即.

费马素数检验（Fermat primality test）

费马素数检验是一种概率检验，用于确定一个数是否是可能的素数。

费马小定理指出，如果p是素数且a不能被p整除，则

如果要测试p是否为素数，那么我们可以选择不能被p整除的随机整数a并查看等式是否成立。如果等式对于a的值不成立，则p是合数。如果p是合数的，则这种同余性不太可能对随机a成立。因此，如果等式确实适用于a的一个或多个值，那么我们说p可能是素数。人们通常在区间中选择一个数字a，满足。

任何一个这样的，当n是合数时，被称为费马骗子。在这种情况下， n称为以 a为底的费马伪素数。

如果我们确实选择了一个这样的a，使得，那么a被称为n的复合性的费马见证。

费马大定理（Fermat's Last Theorem）

在数论中，费马大定理（有时称为费马猜想）指出，对于任何大于 2的n整数值，没有三个正整数a、b和c满足方程。n = 1和n = 2的情况自古以来就已知有无穷多个解。

1637 年左右，皮埃尔·德·费马 ( Pierre de Fermat ) 在一本《算术》( Arithmetica )副本的页边首次将这个命题作为定理陈述；费马补充说，他的证明太大而无法放入空白处。尽管费马在没有证明的情况下声称的其他陈述随后被其他人证明并被认为是费马定理（例如，费马关于两个平方和的定理），但费马大定理拒绝证明，导致人们怀疑费马曾经有过正确的证明及其被称为猜想而不是定理。经过数学家350多年的努力，第一个成功的证明于 1994 年由Andrew Wiles发布，并于1995年正式出版；在 2016 年Wiles 的阿贝尔奖颁奖典礼上，它被描述为“惊人的进步”。 它还证明了谷山-志村猜想的大部分内容，后来被称为模块化定理，并为许多其他理论开辟了全新的方法。

费马小定理（Fermat's little theorem）

费马小定理指出，如果p是素数，那么对于任何整数a，数字 − a是 p 的整数倍。在模算术的符号中，这表示为

例如，如果a = 2 且p = 7，则 = 128，并且 128 - 2 = 126 = 7 × 18 是 7 的整数倍。如果a不能被p整除，则费马小定理等价于是p的整数倍的陈述，或者用符号表示：

例如，如果a = 2 且p = 7，则 = 64，因此 64 - 1 = 63 = 7 × 9 是 7 的倍数。

费马小定理是费马素性检验的基础，是初等数论的基本成果之一。该定理以皮埃尔·德·费马 ( Pierre de Fermat ) 的名字命名，他于 1640 年提出。

无限下降证明（Fermat's method of descent）

在数学中，无限下降证明，也称为费马下降法，是一种特殊的矛盾证明，用于证明一个陈述不可能对任何数成立，通过表明如果该陈述对一个数成立，那么对于较小的数字也是如此，导致无限下降并最终产生矛盾。它是一种依赖于良序原理的方法，通常用于证明给定方程（例如丢番图方程）没有解。

通常，如果存在问题的解决方案，在某种意义上与一个或多个自然数有关，则必然意味着存在第二种解决方案，该解决方案与一个或多个“较小的”自然数有关。这反过来又意味着与较小的自然数相关的第三种解决方案，意味着第四种解决方案，因此是第五种解决方案，依此类推。然而，不可能有无限个越来越小的自然数，因此通过数学归纳法，原来的前提——任何解都存在——是不正确的：它的正确性产生了矛盾。

表达这一点的另一种方法是假设存在一个或多个解决方案或示例，然后可以从中推断出最小的解决方案或示例（最小反例）。一旦到了那里，人们就会试图证明，如果存在最小解，那么它一定意味着存在更小的解（在某种意义上），这再次证明了任何解的存在都会导致矛盾。

无限下降法的最早使用出现在欧几里得的《几何原本》中。一个典型的例子是第 7 卷的第 31 号命题，其中欧几里德证明了每个复合整数都被某个素数除（用欧几里德的术语“测量”）。

该方法是由费马后来开发的，他创造了这个术语并经常将其用于丢番图方程。两个典型的例子是显示丢番图方程的不可解性和证明两个平方和的费马定理，即奇素数p当p ≡ 1 ( mod 4)时，可以表示为两个平方数的和。

费马原理（Fermat's principle）

费马原理，也称为最短时间原理，是联系射线光学和波动光学的纽带。在其最初的“强”形式中，费马原理指出，射线在两个给定点之间所走的路径是可以在最短的时间内通过的路径。为了在所有情况下都是正确的，必须通过用相对于路径变化的“静止”时间替换“最小”时间来削弱该陈述 - 这样路径的偏差最多会导致遍历时间的二阶变化。说白了就是关闭时间。可以证明，该技术定义对应于更直观的射线概念，例如视线或窄光束的路径。

由法国数学家皮埃尔·德·费马于 1662 年首次提出，作为解释光的普通折射定律的一种手段。

费马原理

费马关于两个平方和的定理（Fermat's theorem on sums of two squares）

在加法数论中，该定理指出，奇素数 p可以表示为：x和y均为整数。

当且仅当为真时的素数称为毕达哥拉斯素数。

例如，素数 5、13、17、29、37 和 41 都等于 1模4，它们可以用以下方式表示为两个平方和：

,.

佩尔-费马方程（Pell–Fermat equation）

佩尔-费马方程是任何形如的丢番图方程，其中n是给定的非平方正整数，并且为x和y寻求整数解。在笛卡尔坐标系中，方程用双曲线表示，方程解是在曲线上，x和y坐标均为整数的点，例如x = 1 和y = 0的平凡解。约瑟夫·路易斯·拉格朗日证明，只要n不是完全平方, 佩尔-费马方程有无数个不同的整数解。

n=2时的佩尔-费马方程，及6个解